Uzluksiz Funksiya
Uzluksiz funksiya - maʼlum shartni qanoatlantiruvchi funksiya; muhim tushunchalardan biri. f(x) funksiya £eL toʻplamda aniqlangan va xoyeYe shu toʻplamning limit nuqtasi boʻlsin. Agar limf(x) = f(x0) boʻlsa, f{x) funksiya x=x0 nuqtada uzluksiz deyiladi. Funksiyaning uzluksizligini quyidagicha aytish ham mumkin: agar ixtiyoriy ye>0 son uchun shunday 5>0 son topilsinki, bunda hx— xp | <5 tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha jce Ye da hf(x)—f(x^ I <e tengsizlik bajarilsa, fi x) funksiya x=x0 nuqtada uzluksiz deyiladi. Agar fi x) funksiya Ye toʻplamning har bir nuktasida uzluksiz boʻlsa, u shu Ye toʻplamda uzluksiz deyiladi. Uzluksiz funksiyalarning xossalari: uzluksiz funksiyalarning yigʻindisi, ayirmasi, koʻpaytmasi hamda nisbati (mahraj nolga teng boʻlmagan holda) yana uzluksiz boʻladi; (fi x) (xe Rm) funksiya FczR1" toʻplamda berilgan boʻlsa, uning xoye Gʻ nuqtada uzluksizligi yuqoridagiday taʼriflanadi.
Birinchi taʻrif
Agar
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
=
f
(
x
0
)
{\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0})}
boʻlsa,
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
funksiya
x
0
{\displaystyle x_{0}}
nuqtada uzluksiz deyiladi.
Demak,
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
funksiyaning
x
0
{\displaystyle x_{0}}
nuqtada uzluksiz ushbu 1)
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
=
b
{\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=b}
ning mavjudligi, 2)
b
=
f
(
x
0
)
{\displaystyle b=f(x_{0})}
boʻlishi shartlarining bajarilishi bilan ifodalanadi.
Misollar
Ikkinchi taʻrif
Agar
n
→
∞
{\displaystyle n\rightarrow \infty }
da
x
n
→
x
0
{\displaystyle x_{n}\rightarrow x_{0}}
(
x
n
∈
X
,
n
=
1
,
2...
)
{\displaystyle (x_{n}\in X,n=1,2...)}
boʻladigan ixtiyoriy
{
x
n
}
{\displaystyle \{x_{n}\}}
ketma-ketlik uchun
n
→
∞
{\displaystyle n\rightarrow \infty }
da
f
(
x
n
)
→
f
(
x
0
)
{\displaystyle f(x_{n})\rightarrow f(x_{0})}
boʻlsa,
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
funksiya
x
0
{\displaystyle x_{0}}
nuqtada uzluksiz deyiladi.
Uchinchi taʻrif
Agar
∀
ϵ
>
0
{\displaystyle \forall \epsilon >0}
son olinganda ham shunday
δ
=
δ
(
ϵ
)
>
0
{\displaystyle \delta =\delta (\epsilon )>0}
son topilsaki,
∀
x
∈
X
⋂
U
δ
(
x
0
)
{\displaystyle \forall x\in X\bigcap U_{\delta }(x_{0})}
uchun
∣
f
(
x
)
−
f
(
x
0
)
∣<
ϵ
{\displaystyle \mid f(x)-f(x_{0})\mid <\epsilon }
tengsizlik bajarilsa,
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
funksiya
x
0
{\displaystyle x_{0}}
nuqtada uzluksiz deyiladi.
Odatda,
x
−
x
0
{\displaystyle x-x_{0}}
ayirma argument orttirmasi,
f
(
x
)
−
f
(
x
0
)
{\displaystyle f(x)-f(x_{0})}
esa funksiya orttirmasi deyilib, ular mmos ravishda
△
x
{\displaystyle \bigtriangleup x}
va
△
f
{\displaystyle \bigtriangleup f}
kabi belgilanadi:
△
x
=
x
−
x
0
{\displaystyle \bigtriangleup x=x-x_{0}}
,
△
f
=
f
(
x
)
−
f
(
x
0
)
=
f
(
x
0
+
△
x
)
−
f
(
x
0
)
{\displaystyle \bigtriangleup f=f(x)-f(x_{0})=f(x_{0}+\bigtriangleup x)-f(x_{0})}
.
Unda funksiya uzluksizligining birinchi taʻrifidagi munosabat ushbu
lim
△→
0
△
f
=
0
{\displaystyle \textstyle \lim _{\bigtriangleup \to 0}\displaystyle \bigtriangleup f=0}
koʻrinishga keladi.
Demak, munosabatni funksiyaning
x
0
{\displaystyle x_{0}}
nuqtada uzluksizligi taʻrifi sifatida qarash mumkin.
Aytaylik,
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
funksiya
X
⊂
R
{\displaystyle X\subset R}
toʻplamda berilgan boʻlib,
x
0
∈
X
{\displaystyle x_{0}\in X}
nuqta X toʻplamning oʻng (chap) limit nuqtasi boʻlsin.
Toʻrtinchi taʻrif
Agar
lim
x
→
x
0
+
0
f
(
x
)
=
f
(
x
0
)
{\displaystyle \lim _{x\to x_{0}+0}f(x)=f(x_{0})}
(
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
=
f
(
x
0
)
)
{\displaystyle (\lim _{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0}))}
boʻlsa,
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
funksiya
x
0
{\displaystyle x_{0}}
nuqtada oʻngdan (chapdan) uzluksiz deyiladi.
Demak,
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
funksiya
x
0
{\displaystyle x_{0}}
nuqtada oʻngdan (chapdan) uzluksiz boʻlganda funksiyaning oʻng (chap) limiti uning
x
0
{\displaystyle x_{0}}
nuqtadagi qiymatiga teng boʻladi:
f
(
x
0
+
0
)
=
f
(
x
0
)
{\displaystyle f(x_{0}+0)=f(x_{0})}
(
f
(
x
0
−
0
)
=
f
(
x
0
)
)
{\displaystyle (f(x_{0}-0)=f(x_{0}))}
.
Keltirilgan taʻriflardan,
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
funksiya
x
0
{\displaystyle x_{0}}
nuqtada ham boʻlganda, ham chapdan bir vaqtda uzluksiz boʻlsa, funksiya shu nuqtada uzluksiz boʻlishini topamiz.
Umuman,
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
funksiyaning
x
0
{\displaystyle x_{0}}
nuqtada uzluksiz boʻlishi,
∀
ϵ
>
0
{\displaystyle \forall \epsilon >0}
berilganda ham unga koʻra shunday
δ
=
δ
(
ε
)
>
0
{\displaystyle \delta =\delta (\varepsilon )>0}
topilib,
∀
x
∈
∪
δ
(
x
0
)
⊂
X
⇒
f
(
x
)
∈
∪
ε
(
f
(
x
0
)
)
{\displaystyle \forall x\in \cup _{\delta }(x_{0})\subset X\Rightarrow f(x)\in \cup _{\varepsilon }(f(x_{0}))}
boʻlishini bildiradi.
Beshinchi taʻrif
Agar
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
funksiya
X
⊂
R
{\displaystyle X\subset R}
toʻplamining har bir nuqtasida uzluksiz boʻlsa,
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
funksiya
X
{\displaystyle X}
toʻplamda uzluksiz deyiladi.
Oltinchi taʻrif
X
⊂
R
{\displaystyle X\subset R}
toʻplamda uzluksiz boʻlgan funksiyalardan iborat toʻplam uzluksiz funksiyalar toʻplami deyiladi va
C
(
X
)
{\displaystyle C(X)}
kabi belgilanadi.
Masalan,
f
(
x
)
∈
C
[
a
,
b
]
{\displaystyle f(x)\in C[a,b]}
boʻlishi,
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
funksiyaning
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
segmentining har bir nuqtasida uzluksiz, yaʻni
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
funksiya
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
intervalning har bir nuqtasida uzluksiz,
a
{\displaystyle a}
nuqtadan oʻngdan,
b
{\displaystyle b}
nuqtadan esa chapdan uzluksiz boʻlishini bildiradi.
Funksiyaning uzulishi
Aytaylik,
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
funksiya
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
da
(
−
∞
≤
a
<
b
≤
+
∞
)
{\displaystyle (-\infty \leq a<b\leq +\infty )}
berilgan boʻlib,
x
0
∈
(
a
,
b
)
{\displaystyle x_{0}\in (a,b)}
boʻlsin.
Maʻlumki,
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
funksiyaning
x
0
{\displaystyle x_{0}}
nuqtadagi oʻng va chap limitlari
f
(
x
0
+
0
)
{\displaystyle f(x_{0}+0)}
,
f
(
x
0
−
0
)
{\displaystyle f(x_{0}-0)}
mavjud boʻlib,
f
(
x
0
−
0
)
=
f
(
x
0
)
=
f
(
x
0
+
0
)
{\displaystyle f(x_{0}-0)=f(x_{0})=f(x_{0}+0)}
tenglik oʻrinli boʻlsa, u holda
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
funksiya
x
0
{\displaystyle x_{0}}
nuqta
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
funksiyaning uzulish nuqtasi deyiladi.
Yettinchi taʻrif
Agar limitlar mavjud va chekli boʻlib, tengliklarning birortasi oʻrinli boʻlmasa,
x
0
{\displaystyle x_{0}}
nuqta
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
funksiyaning birinchi tur uzulish nuqtasi deyiladi. Bunda
f
(
x
0
+
0
)
−
f
(
x
0
−
0
)
{\displaystyle f(x_{0}+0)-f(x_{0}-0)}
ayirma funksiyning
x
0
{\displaystyle x_{0}}
nuqtadagi sakrashi deyiladi.
Masalan,
f
(
x
)
=
[
x
]
{\displaystyle f(x)=[x]}
funksiya
x
=
p
{\displaystyle x=p}
(
p
∈
Z
)
{\displaystyle (p\in Z)}
nuqtada birinchi tur uzilishiga ega, chunki
f
(
p
+
0
)
=
p
{\displaystyle f(p+0)=p}
,
f
(
p
0
)
=
p
−
1
{\displaystyle {\ce {f(p_0)=p-1}}}
boʻlib
f
(
p
+
0
)
≠
f
(
p
0
−
0
)
{\displaystyle f(p+0)\neq f(p_{0}-0)}
boʻladi. Agar hech boʻlaganda limitlarning birortasi mavjud boʻlmasa yoki cheksiz boʻlsa,
x
0
{\displaystyle x_{0}}
nuqta
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
funksiyaning ikkinchi tur uzilish nuqtasi deyiladi.
Masalan, ushbu
f
(
x
)
=
{
s
i
n
1
x
,
a
g
a
r
x
≠
0
b
o
′
l
s
a
0
,
a
g
a
r
x
=
0
b
o
′
l
s
a
{\displaystyle f(x)={\begin{cases}sin{\frac {1}{x}},agar&x\neq 0&bo'lsa\\0,agar&x=0&bo'lsa\end{cases}}}
funksiya
x
=
0
{\displaystyle x=0}
nuqtada ikkinchi tur uzilishiga ega boʻladi, chunki bu funksiya
x
=
0
{\displaystyle x=0}
nuqtadagi oʻng va chap limitlari mavjud emas.
Murakkab funksiyaning uzluksizligi
Faraz qilaylik,
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)}
funksiya
X
⊂
R
{\displaystyle X\subset R}
toʻplamda,
u
=
F
(
y
)
{\displaystyle u=F(y)}
funksiya esa
Y
f
{\displaystyle Y_{f}}
toʻplamda aniqlangan boʻlib, ular yordamida
u
=
(
f
(
x
)
)
{\displaystyle u=(f(x))}
murakkab funksiya tuzilgan.
Manbalar
uz.wikipedia.org