Uchburchak
Uchburchak — bir toʻgʻri chiziqda yotmagan uchta nuqta va uchlari shu nuqtalarda boʻlgan uchta kesmadan yasalgan figura. Berilgan nuqtalar uchburchakning uchlari, uchlarini tutashtiruvchi kesmalar uchburchakning tomonlari, tomonlari orasidagi uchta burchak uchburchakning burchaklari deyiladi. Uchala tomoni oʻzaro teng boʻlgan uchburchak teng tomonli (muntazam uchburchak), ikki tomoni teng boʻlsa, teng yonli uchburchak deyiladi. Uchala burchagi oʻtkir boʻlgan uchburchak oʻtkir burchakli, burchaklaridan biri toʻgʻri boʻlsa, toʻgʻri burchakli, burchaklaridan biri oʻtmas boʻlsa, oʻtmas burchakli deyiladi. Uchburchakda faqat bitta toʻgʻri yoki oʻtmas burchak boʻladi (chunki uchburchakning ichki burchaklari yigʻindisi ikki toʻgʻri burchak, yaʼni 180° yoki radian oʻlchoviga teng). Uchburchakning yuzi S =ah/2 ga teng (bunda, a — uchburchak tomonlaridan biri, h — esa oʻsha tomonga tushirilgan balandlik). Uchburchak har tomonining uzunligi qolgan ikki tomon uzunliklari yigʻindisidan kichik, ayirmasidan esa kattadir. Quyidagi shartlardan biri bajarilsa, ikki uchburchak teng boʻladi: 1)TTT alomati. uchburchakning 3 tomoni boshqa uchburchakning 3 tomoni bilan teng boʻlsa bunday uchburchaklar oʻzaro teng uchburchaklar ; 2) TTB alomati. uchburchakning ikki tomoni va ular orasidagi burchagi boshqa uchburchakning 2 tomoni va ular orasidagi burchakka teng boʻlsa bunday uchburchaklar oʻzaro teng; 3) TBB alomati.uchburchakning bir tomoni va unga yopishgan 2 burchagi boshqa uchburchakning bir tomoni va unga yopishgan 2 burchagi oʻzaro teng boʻlsa bunday uchburchaklar oʻzaro teng. Uchburchaklarning koʻpgina boshqa xossalarini trigonometriya, sferik geometriya, sferik trigonometriya va boshqa sohalarda oʻrganiladi.
Uchburchak geometrik figuralardan biri boʻlib, bir toʻgʻri chiziqda yotmaydigan uchta nuqta va shu nuqtalarni ketma-ket tutashtirishdan hosil boʻlgan figura. Nuqtalar uchburchakning uchlari, kesmalar esa uning tomonlari hisoblanadi. Uchburchak uning uchlarini koʻrsatish bilan belgilanadi. „Uchburchak“ soʻzi oʻrniga baʼzan Fayl:Trianglen.jpg belgidan foydalaniladi.
Uchburchak turlari
Uchburchak tomonlarining uzunligiga koʻra, uch xil boʻladi:
Uchburchak burchaklarining kattaliklariga koʻra uch xil boʻladi:
Asosiy xossalari
Pifagor teoremasi toʻgʻri burchakli uchburchakka oid boʻli, toʻgʻri burchakli uchburchak gipotenuzasining kvadrati uning katetlari kvadratlarining yigʻindisiga teng. Katetlarining uzunligi a va b, gipotenuzasi uzunligi c boʻlgan toʻgʻri burchakli uchburchak berilgan boʻlsin, u holda Pifagor teoremasi:
a
2
+
b
2
=
c
2
{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}\,}
formula bilan ifodalanadi.
Toʻgʻri burchakli uchburchakning asosiy xossalari:
Yuzini hisoblash
Uchburchak yuzini hisoblashni bir necha usulllari boʻlib. Bularni ichida eng soddasi ushbu formula bilan hisoblanadi: :
S
=
1
2
b
h
b
{\displaystyle \mathrm {S} ={\frac {1}{2}}bh_{b}}
Bu yerda S — uchburchak yuzi, b — uchburchak asosi(uchburchak tomoni),
h
b
{\displaystyle h_{b}}
- asosga tushirilgan balandlik. Biz bu formulani faqatgina balandlik va asosi aniq boʻlganda qoʻllashimiz mumkin.
Geron formulasi yordamida hisoblash
Uchburchak yuzini topishda Geron formulasidan ham foydalaniladi. Geron formulasidan faqat uchburchak uchala tomoni aniq boʻlgandagina foydalanish mumkin. Geron formulasi quyidagicha:
Bu yerda
p
=
a
+
b
+
c
2
{\displaystyle p={\frac {a+b+c}{2}}}
ga teng yoki uchburchak peremetrini yarmi deb olsak ham boʻladi,
a
,
b
,
c
{\displaystyle a,b,c}
— uchburchak tomonlari uzunligi.
Geron formulasi yozilishining yana 2 ta ekvivalent yoʻli bor:
S
=
1
4
(
a
2
+
b
2
+
c
2
)
2
−
2
(
a
4
+
b
4
+
c
4
)
{\displaystyle \mathrm {S} ={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}}
S
=
1
4
2
(
a
2
b
2
+
a
2
c
2
+
b
2
c
2
)
−
(
a
4
+
b
4
+
c
4
)
{\displaystyle \mathrm {S} ={\frac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}}
S
=
1
4
(
a
+
b
−
c
)
(
a
−
b
+
c
)
(
−
a
+
b
+
c
)
(
a
+
b
+
c
)
.
{\displaystyle \mathrm {S} ={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)(a+b+c)}}.}
Burchak sinusi yordamida hisoblash
Uchburchak yuzini berilgan ixtiyoriy ikki tomoni va ular orasidagi burchagi boʻyicha hisoblash mumkin. Yaʼni quyidagi formula orqali:
S
=
1
2
a
b
sin
γ
=
1
2
b
c
sin
α
=
1
2
c
a
sin
β
{\displaystyle \mathrm {S} ={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma ={\frac {1}{2}}bc\sin \alpha ={\frac {1}{2}}ca\sin \beta }
.
Bu yerda a, b, c — uchburchak tonomlari, α,β,γ — uchburchak tonomlari orasidagi burchagi.
Medianalar orqali hisoblash
Uchburchak tomonlariga tushirilgan uchala mediana ham aniq boʻlganda biz quyidagi formula orqali uchburchak yuzini hisoblaymiz:
S
=
4
3
m
(
m
−
m
a
)
(
m
−
m
b
)
(
m
−
m
c
)
{\displaystyle \mathrm {S} ={\frac {4}{3}}{\sqrt {m(m-m_{a})(m-m_{b})(m-m_{c})}}}
Bu yerda
m
=
m
a
+
m
b
+
m
c
2
{\displaystyle m={\frac {m_{a}+m_{b}+m_{c}}{2}}}
,
m
a
,
m
b
,
m
c
{\displaystyle m_{a},m_{b},m_{c}}
— tomonlariga tushirilgan mediana uzunligi.
Uchburchaklarning tengsizligi
Uchburchak tomonlarini ixtiyoriy belgilab boʻlmaydi. Ular quyidagi tengsizliklar bilan bogʻlangan (a, b, c uchburchak tomonlari):
Yuqoridagi tengsizliklardan birortasi bajarilmagan holatda esa, uchburchak
chala deb ataladi.
Uchburchaklar tengligi alomatlari
Uchburchaklar elementlarining quyidagi uchta alomatlariga asoslanib teng uchburchaklar hisoblanadi:
Oʻxshash uchburchaklar
Oʻxshash uchburchakning mos burchaklari teng, mos tomonlari esa proporsional boʻladi. Ikki oʻxshash uchburchak yuzlari nisbati o'xshashlik koeffitsentining kvadratida teng.
Uchburchak oʻxshashligining alomatlari:
Havolalar
uz.wikipedia.org