Trigonometrik ayniyatlar
Trigonometrik ayniyatlar – trigonometrik tenglik α burchagiga mos keluvchi barcha qiymatlar uchun ahamiyatga ega, yaʼni chap va oʻng qismi oʻzaro teng maʼnoga ega boʻlgan trigonometriyaning asosiy boʻlimi.
Asosiy Trigonometrik ayniyatlar
Qoʻshish va ayrish formulasi
Eslatma (2.3) formulasi
π
2
+
π
n
{\displaystyle {\pi \over 2}+\pi n}
,
n
∈
Z
{\displaystyle n\in \mathbb {Z} }
da
α
{\displaystyle \alpha }
,
β
{\displaystyle \beta }
,
α
±
β
{\displaystyle \alpha \pm \beta }
maʼnoga ega emas. Ikkilangan burchak formulasi
Agar β=α boʻlsa ikkilangan burchak formulasi
(2.1) —
(2.4) dan kelib chiqadi.
α
≠
π
2
+
π
n
,
n
∈
Z
.
{\displaystyle \alpha \not ={\frac {\pi }{2}}+\pi n,n\in \mathbb {Z} .}
.
Uchlangan burchak formulasi
Agar β=2α boʻlsa ikkilangan burchak formulasi
(2.1) —
(2.4) dan kelib chiqadi.
Daraja pasaytirish formulasi
Daraja pasaytirish formulasi
(3.2) orqali kelib chiqadi.
sin va cos ning koʻpaytmasi formulasi
sin va cos ning yigʻindisi formulasi
Trigonometiyaning yechimlari formulasi
Agarda
|
a
|
>
1
{\displaystyle |a|>1}
– haqiqiy yechimlari yoʻq.
Agarda
|
a
|
⩽
1
{\displaystyle |a|\leqslant 1}
–
x
=
(
−
1
)
n
arcsin
a
+
π
n
,
{\displaystyle x=(-1)^{n}\arcsin a+\pi n,}
,
n
∈
Z
.
{\displaystyle n\in \mathbb {Z} .}
da yechimga ega.
Agarda
|
a
|
>
1
{\displaystyle |a|>1}
– haqiqiy yechimlari yoʻq.
Agarda
|
a
|
⩽
1
{\displaystyle |a|\leqslant 1}
–
x
=
±
arccos
a
+
2
π
n
,
n
∈
Z
.
{\displaystyle x=\pm \arccos a+2\pi n,~n\in \mathbb {Z} .}
da yechimga ega.
x
=
arctg
a
+
π
n
,
n
∈
Z
.
{\displaystyle x={\text{arctg}}~a+\pi n,~n\in \mathbb {Z} .}
da yechimga ega.
x
=
arcctg
a
+
π
n
,
n
∈
Z
.
{\displaystyle x={\text{arcctg}}~a+\pi n,~n\in \mathbb {Z} .}
da yechimga ega.
Qoʻshimcha formula
tg yechimga ega boʻlsa (
α
≠
π
+
2
π
n
{\displaystyle \alpha \neq \pi +2\pi n}
)
ctg yechimga ega boʻlsa (
α
≠
2
π
n
{\displaystyle \alpha \neq 2\pi n}
):
Trigonometrik hosila va integral formulasi
Teskari trigonometrik funksiya
Trigonometrik Eyler formulasi
Eyler formulasi har qanday haqiqiy x son uchun quyidagi tenglik bajarildi:
e
i
x
=
cos
x
+
i
sin
x
,
{\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,}
Eyler formulasi yordamida
sin
x
{\displaystyle \sin x}
va
cos
x
{\displaystyle \cos x}
quyidagi koʻrinishga keltirsa boʻladi:
sin
x
=
e
i
x
−
e
−
i
x
2
i
,
cos
x
=
e
i
x
+
e
−
i
x
2
.
{\displaystyle \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}},\qquad \qquad \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}.}
Shu formula orqali
tg
x
=
−
i
e
i
x
−
e
−
i
x
e
i
x
+
e
−
i
x
,
ctg
x
=
i
e
i
x
+
e
−
i
x
e
i
x
−
e
−
i
x
,
{\displaystyle \operatorname {tg} \,x=-i{\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{e^{ix}+e^{-ix}}},\qquad \qquad \operatorname {ctg} \,x=i{\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{e^{ix}-e^{-ix}}},}
sec
x
=
2
e
i
x
+
e
−
i
x
,
cosec
x
=
2
i
e
i
x
−
e
−
i
x
.
{\displaystyle \sec x={\frac {2}{e^{ix}+e^{-ix}}},\qquad \qquad \operatorname {cosec} \,x={\frac {2i}{e^{ix}-e^{-ix}}}.}
Shuningdek qarang
uz.wikipedia.org