Trigonometrik ayniyatlar




Trigonometrik ayniyatlar  – trigonometrik tenglik α burchagiga mos keluvchi barcha qiymatlar uchun ahamiyatga ega, yaʼni chap va oʻng qismi oʻzaro teng maʼnoga ega boʻlgan trigonometriyaning asosiy boʻlimi.

Asosiy Trigonometrik ayniyatlar




Qoʻshish va ayrish formulasi




Eslatma (2.3) formulasi





π
2


+
π
n


{\displaystyle {\pi \over 2}+\pi n}

,



n


Z



{\displaystyle n\in \mathbb {Z} }

da



α


{\displaystyle \alpha }

,



β


{\displaystyle \beta }

,



α
±
β


{\displaystyle \alpha \pm \beta }

maʼnoga ega emas.


Ikkilangan burchak formulasi



Agar β=α boʻlsa ikkilangan burchak formulasi (2.1) (2.4) dan kelib chiqadi.




α



π
2


+
π
n
,
n


Z

.


{\displaystyle \alpha \not ={\frac {\pi }{2}}+\pi n,n\in \mathbb {Z} .}

.

Uchlangan burchak formulasi



Agar β=2α boʻlsa ikkilangan burchak formulasi (2.1) (2.4) dan kelib chiqadi.

Daraja pasaytirish formulasi



Daraja pasaytirish formulasi (3.2) orqali kelib chiqadi.

sin va cos ning koʻpaytmasi formulasi




sin va cos ning yigʻindisi formulasi




Trigonometiyaning yechimlari formulasi




Agarda




|

a

|

>
1


{\displaystyle |a|>1}

 – haqiqiy yechimlari yoʻq.
Agarda




|

a

|


1


{\displaystyle |a|\leqslant 1}

 –



x
=
(

1

)

n


arcsin

a
+
π
n
,


{\displaystyle x=(-1)^{n}\arcsin a+\pi n,}

,



n


Z

.


{\displaystyle n\in \mathbb {Z} .}

da yechimga ega.

Agarda




|

a

|

>
1


{\displaystyle |a|>1}

 – haqiqiy yechimlari yoʻq.
Agarda




|

a

|


1


{\displaystyle |a|\leqslant 1}

 –



x
=
±
arccos

a
+
2
π
n
,
 
n


Z

.


{\displaystyle x=\pm \arccos a+2\pi n,~n\in \mathbb {Z} .}

da yechimga ega.




x
=

arctg

 
a
+
π
n
,
 
n


Z

.


{\displaystyle x={\text{arctg}}~a+\pi n,~n\in \mathbb {Z} .}

da yechimga ega.




x
=

arcctg

 
a
+
π
n
,
 
n


Z

.


{\displaystyle x={\text{arcctg}}~a+\pi n,~n\in \mathbb {Z} .}

da yechimga ega.

Qoʻshimcha formula



tg yechimga ega boʻlsa (



α

π
+
2
π
n


{\displaystyle \alpha \neq \pi +2\pi n}

)

ctg yechimga ega boʻlsa (



α

2
π
n


{\displaystyle \alpha \neq 2\pi n}

):

Trigonometrik hosila va integral formulasi




Teskari trigonometrik funksiya




Trigonometrik Eyler formulasi




Eyler formulasi har qanday haqiqiy x son uchun quyidagi tenglik bajarildi:





e

i
x


=
cos

x
+
i
sin

x
,


{\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,}


Eyler formulasi yordamida



sin

x


{\displaystyle \sin x}

va



cos

x


{\displaystyle \cos x}

quyidagi koʻrinishga keltirsa boʻladi:




sin

x
=




e

i
x




e


i
x




2
i



,


cos

x
=




e

i
x


+

e


i
x



2


.


{\displaystyle \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}},\qquad \qquad \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}.}


Shu formula orqali




tg

x
=

i




e

i
x




e


i
x





e

i
x


+

e


i
x





,


ctg

x
=
i




e

i
x


+

e


i
x





e

i
x




e


i
x





,


{\displaystyle \operatorname {tg} \,x=-i{\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{e^{ix}+e^{-ix}}},\qquad \qquad \operatorname {ctg} \,x=i{\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{e^{ix}-e^{-ix}}},}





sec

x
=


2


e

i
x


+

e


i
x





,


cosec

x
=



2
i



e

i
x




e


i
x





.


{\displaystyle \sec x={\frac {2}{e^{ix}+e^{-ix}}},\qquad \qquad \operatorname {cosec} \,x={\frac {2i}{e^{ix}-e^{-ix}}}.}


Shuningdek qarang




uz.wikipedia.org


Uzpedia.uz