Oltin spiral

Geometriyada oltin spiral logarifmik spiral boʻlib, uning oʻsish omili φ, oltin nisbati.hisoblanadi. Yaʼni, oltin spiral har chorak burilish uchun φ koeffitsientiga kengaytiriladi (yoki kelib chiqishidan uzoqroq).

Oltin spiralning oʻlchamlari

Oltin spiralga yaqin boʻlgan, ammo toʻliq teng kelmaydigan bir nechta taqqoslanadigan spirallar mavjuddir.

Misol uchun, oltin spiralni birinchi navbatda uning uzunligi va kengligi oʻrtasidagi nisbat oltin nisbat boʻlgan toʻrtburchakdan boshlab tashkil topgan. Keyin bu toʻrtburchakni kvadratga va shunga oʻxshash toʻrtburchakga boʻlish mumkin va keyin bu toʻrtburchakni xuddi shu tarzda ajratish mumkin. Ushbu jarayonni ixtiyoriy miqdordagi qadamlar uchun davom ettirgandan soʻng, natijada toʻrtburchaklar kvadratlarga deyarli toʻliq boʻlinadi. Ushbu kvadratlarning burchaklarini chorak doiralar bilan bogʻlash mumkin. Natijada, haqiqiy logarifmik spiral boʻlmasa ham, oltin spiralga yaqinroq boʻladi shakl boʻladi.

Yana bir taxminiy Fibonachchi spirali boʻlib, u biroz boshqacha tarzda qurilgan boʻlib fibonachchi spirali 2 kvadratga boʻlingan toʻrtburchakdan boshlanadi. Har bir qadamda toʻrtburchakka toʻrtburchakning eng uzun tomoni uzunligiga teng kvadrat qoʻshiladi. Fibonachchi raqamlari cheksizlikka yaqinlashganda, ketma-ket Fibonachchi raqamlari orasidagi nisbat oltin nisbatga yaqinlashganligi sababli, bu spiral ham oldingi taxminga oʻxshash boʻlib, rasmda koʻrsatilganidek, koʻproq kvadrat qoʻshiladi.

Tabiatdagi spirallar

Tabiatda taxminiy logarifmik spirallar paydo boʻlishi mumkin, masalan, spiral galaktikalarning qoʻllari — oltin spirallar bu logarifmik spirallarning alohida holatlaridan biridir, garchi bu holatning paydo boʻlishiga nisbatan umumiy tendentsiya mavjudligi haqida hech qanday dalil yoʻq boʻlsa ham. Fillotaksis oltin nisbat bilan bogʻliq, chunki u ketma-ket barglar yoki gulbarglarning oltin burchak bilan ajratilishini oʻz ichiga oladi; bu shuningdek, spirallarning paydo boʻlishiga olib keladi, garchi ularning hech biri (majburiy) oltin spiral boʻlmaydi. Baʼzida aytilishicha, spiral galaktikalar va nautilus qobiqlari oltin spiral shaklida kengayadi va shuning uchun ham φ, ham Fibonachchi qatorlari bilan bogʻliq boʻladi. Darhaqiqat, koʻplab mollyuskalar, shu jumladan nautilus qobigʻi logarifmik spiral oʻsishini namoyish etadi, ammo turli burchaklarda odatda oltin spiralnikidan aniq farq qiladi. Bu naqsh organizmning shaklini oʻzgartirmasdan oʻsishiga imkon beradi. Spiral galaktikalar koʻpincha logarifmik spirallar yoki giperbolik spirallar sifatida modellashtirilgan boʻlsa-da, ularning qadam burchaklari logarifmik spirallardan farqli oʻlaroq (bu burchak oʻzgarmaydi) galaktika markazidagi masofaga qarab oʻzgaradi. Ularni modellashtirish uchun boshqa matematik spirallardan foydalaniladi.

Matematika

Boshlangʻich radiusi 1 boʻlgan oltin spiral qutb koordinatalari nuqtalarining joylashuvidir

(
r
,
θ
)

{\displaystyle (r,\theta )}

qoniqarlidir

Oltin spiral uchun qutb tenglamasi boshqa logarifmik spirallar bilan bir xil, lekin oʻsish omilining b ning maxsus qiymati quyidagilar:

r
=
a

e

b
θ

{\displaystyle r=ae^{b\theta }}

yoki

θ
=

1
b

ln
⁡
(
r

/

a
)
,

{\displaystyle \theta ={\frac {1}{b}}\ln(r/a),}

e — natural logarifmlarning asosi, a — spiralning boshlangʻich radiusi va b shundayki, θ toʻgʻri burchak boʻlganda (har ikki yoʻnalishda chorak burilish) quyidagilarga ega boʻlamiz:

e

b

θ

r
i
g
h
t

=
φ
.

{\displaystyle e^{b\theta _{\mathrm {right} }}=\varphi .}

Shuning uchun b tomonidan berilgan

b
=

ln
⁡

φ

θ

r
i
g
h
t

.

{\displaystyle b={\ln {\varphi } \over \theta _{\mathrm {right} }}.}

b ning raqamli qiymati toʻgʻri burchak 90 gradus yoki kabi oʻlchanganiga bogʻliq

π
2

{\displaystyle \textstyle {\frac {\pi }{2}}}

radyanlar; va burchak ikkala yoʻnalishda boʻlishi mumkinligi sababli, b ning mutlaq qiymati uchun formulani yozish eng osonusuldir (yaʼni, b bu qiymatning manfiy ham boʻlishi mumkin):

θ uchun darajalarda yokiθ uchun radyanlarda.
Logarifmik va oltin spiralning muqobil formulalari.

Bu erda c doimiysi orqali berilganbu oltin spiral uchun c qiymatlarini beradiagar θ darajalarda oʻlchanadigan boʻlsa va uagar θ radianlarda oʻlchanadi.
Logarifmik spirallarga nisbatan oltin spiral oʻziga xos xususiyatga ega boʻlib, θ, θ + π, θ + 2π, θ + 3π argumentlariga tegishli toʻrtta kollinear spiral nuqta A, B, C, D uchun C nuqtasi proyektiv garmonik hisoblanadi. B ning A, D ga nisbatan konjugati, yaʼni oʻzaro nisbati (A, D ; B, C) yagona qiymat −1 ga ega boʻladi. Oltin spiral (A, D ; B, C) = (A, D ; C, B) boʻlgan yagona logarifmik spiral hisoblanadi.

Logarifmik spiral uchun qutb tenglamasida:

b parametri qutb qiyalik

α

{\displaystyle \alpha }

burchagi bilan bogʻliq :Oltin spiralda,

b

{\displaystyle b}

doimiy va teng

|

b

|

=

ln
⁡

φ

π

/

2

{\displaystyle |b|={\ln {\varphi } \over \pi /2}}

(yuqorida aniqlanganidek, radianlarda θ uchun), qiyalik burchagi

α

{\displaystyle \alpha }

hisoblanadishuning uchundarajalarda oʻlchangan boʻlsa, yokiagar radianlarda oʻlchangan boʻlsa u holda:
Uning toʻldiruvchi burchagiFailed to parse (sintaktik xato): {\displaystyle \beta = \pi/2 — \alpha \doteq1.273525022}
radianlarda yokiFailed to parse (sintaktik xato): {\displaystyle \beta = 90 — \alpha \doteq73}
darajalarda, oltin spiral qoʻllarining spiral markazidan chiziq bilan hosil qilgan burchagi boʻladi.

Yana qarang

Manbalar

Andoza:Metallic ratiosAndoza:Spirals

uz.wikipedia.org