Nisbiy tezlik
Nisbiy tezlik v
→
B
∣
A
{\displaystyle {\vec {v}}_{B\mid A}}
(shuningdek
v
→
B
A
{\displaystyle {\vec {v}}_{BA}}
yoki
v
→
B
rel
A
{\displaystyle {\vec {v}}_{B\operatorname {rel} A}}
) — ob’ekt yoki kuzatuvchi
B ning boshqa ob’ekt yoki kuzatuvchi
A ning harakatsiz paytidagi tezligi.
Klassik mexanika
Bir oʻlchovda (nisbiy boʻlmagan)
Biz nisbiy harakatni klassik (yoki relativistik boʻlmagan yoki Nyuton yaqinlashuvi) bilan boshlaymiz, bu barcha tezliklar yorugʻlik tezligidan ancha past. Bu chegara Galiley transformatsiyasi bilan bogʻliq. Rasmda poezd tepasida, orqa chetida odam koʻrsatilgan. Soat 13:00 da u 10 km/soat tezlikda oldinga yura boshlaydi (soatiga kilometr). Poyezd 40 km/soatda harakatlanmoqda. Rasmda odam va poezd ikki xil vaqtda tasvirlangan: birinchidan, sayohat boshlanganda, shuningdek, bir soatdan keyin soat 14:00 da. Raqam erkakning bir soat davomida sayohat qilgandan keyin (piyoda va poezdda) boshlangʻich nuqtadan 50 km uzoqdaligini. Bu taʼrifga koʻra, 50 km/soatga teng, bu nisbiy tezlikni shu tarzda hisoblash retsepti ikkita tezlikni qoʻshish ekanligini koʻrsatadi.
Diagrammada soatlar va oʻlchagichlar koʻrsatilgan, bu oʻquvchiga bu hisob-kitob ortidagi mantiq benuqson boʻlib koʻrinsa-da, soatlar va oʻlchagichlar oʻzini qanday tutishi haqida notoʻgʻri taxminlarni keltirib chiqaradi. Nisbiy harakatning ushbu klassik modeli maxsus nisbiylikni buzganligini tan olish uchun biz misolni tenglamaga umumlashtiramiz:
v
→
M
∣
E
⏟
50 km/h
=
v
→
M
∣
T
⏟
10 km/h
+
v
→
T
∣
E
⏟
40 km/h
,
{\displaystyle \underbrace {{\vec {v}}_{M\mid E}} _{\text{50 km/h}}=\underbrace {{\vec {v}}_{M\mid T}} _{\text{10 km/h}}+\underbrace {{\vec {v}}_{T\mid E}} _{\text{40 km/h}},}
bu yerda:
v
→
M
∣
E
{\displaystyle {\vec {v}}_{M\mid E}}
odam ning
Yer ga nisbatan tezligi,
v
→
M
∣
T
{\displaystyle {\vec {v}}_{M\mid T}}
poyezd ga nisbatan
odam tezligi,
v
→
T
∣
E
{\displaystyle {\vec {v}}_{T\mid E}}
poyezd ning
Yer ga nisbatan tezligi.
„A ning B ga nisbatan tezligi“ uchun toʻliq qonuniy iboralar „A ning B ga nisbatan tezligi“ va „B har doim tinch holatda boʻlgan A ning koordinata tizimidagi tezligi“ ni oʻz ichiga oladi. Maxsus nisbiylikning buzilishi, nisbiy tezlik uchun bu tenglama turli kuzatuvchilar yorugʻlik harakatini kuzatishda turli tezliklarni oʻlchashlarini notoʻgʻri bashorat qilganligi sababli yuzaga keladi.
Ikki oʻlchovda (nisbiy boʻlmagan)
Rasmda A va B ikkita jismning doimiy tezlikda harakatlanishi koʻrsatilgan. Bu holat uchun harakat tenglamalari:
r
→
A
=
r
→
A
i
+
v
→
A
t
,
{\displaystyle {\vec {r}}_{A}={\vec {r}}_{Ai}+{\vec {v}}_{A}t,}
r
→
B
=
r
→
B
i
+
v
→
B
t
,
{\displaystyle {\vec {r}}_{B}={\vec {r}}_{Bi}+{\vec {v}}_{B}t,}
bu yerda i pastki belgisi dastlabki siljishni bildiradi (t vaqtida nolga teng). Ikki siljish vektorlari orasidagi farq,
r
→
B
−
r
→
A
{\displaystyle {\vec {r}}_{B}-{\vec {r}}_{A}}
, A dan koʻrinib turganidek, B ning oʻrnini ifodalaydi.
r
→
B
−
r
→
A
=
r
→
B
i
−
r
→
A
i
⏟
initial separation
+
(
v
→
B
−
v
→
A
)
t
⏟
relative velocity
.
{\displaystyle {\vec {r}}_{B}-{\vec {r}}_{A}=\underbrace {{\vec {r}}_{Bi}-{\vec {r}}_{Ai}} _{\text{initial separation}}+\underbrace {({\vec {v}}_{B}-{\vec {v}}_{A})t} _{\text{relative velocity}}.}
Demak:
v
→
B
∣
A
=
v
→
B
−
v
→
A
.
{\displaystyle {\vec {v}}_{B\mid A}={\vec {v}}_{B}-{\vec {v}}_{A}.}
Oʻzgartirishlarni amalga oshirgandan soʻng
v
→
A
|
C
=
v
→
A
{\displaystyle {\vec {v}}_{A|C}={\vec {v}}_{A}}
va
v
→
B
|
C
=
v
→
B
{\displaystyle {\vec {v}}_{B|C}={\vec {v}}_{B}}
, bizda quyidagi bor:
v
→
B
∣
A
=
v
→
B
∣
C
−
v
→
A
∣
C
⇒
{\displaystyle {\vec {v}}_{B\mid A}={\vec {v}}_{B\mid C}-{\vec {v}}_{A\mid C}\Rightarrow }
v
→
B
∣
C
=
v
→
B
∣
A
+
v
→
A
∣
C
.
{\displaystyle {\vec {v}}_{B\mid C}={\vec {v}}_{B\mid A}+{\vec {v}}_{A\mid C}.}
Galiley transformatsiyasi (nisbiy boʻlmagan)
Maxsus nisbiylik nazariyasiga mos keladigan nisbiy harakat nazariyasini yaratish uchun biz boshqa konventsiyani qabul qilishimiz kerak. Nyuton chegarasida (relativistik boʻlmagan) ishlashni davom ettirib, biz bir oʻlchovdagi Galiley oʻzgarishi bilan boshlaymiz:
x
′
=
x
−
v
t
{\displaystyle x'=x-vt}
t
′
=
t
{\displaystyle t'=t}
Bu yerda x' — „asosiylashtirilmagan“ (x) mos yozuvlar tizimidagi v tezlikda harakatlanuvchi mos yozuvlar tizimi tomonidan koʻrinadigan pozitsiya. Yuqoridagi ikkita tenglamaning birinchisining differensialini olib, biz shunday qilamiz:
d
x
′
=
d
x
−
v
d
t
{\displaystyle dx'=dx-v\,dt}
, va bu aniq bayonot kabi koʻrinishi mumkin
d
t
′
=
d
t
{\displaystyle dt'=dt}
, bizda quyidagi bor:
d
x
′
d
t
′
=
d
x
d
t
−
v
{\displaystyle {\frac {dx'}{dt'}}={\frac {dx}{dt}}-v}
Nisbiy tezlikning oldingi ifodalarini tiklash uchun, biz zarracha A astarlanmagan maʼlumotnomada dx/dt bilan belgilangan yoʻl boʻylab ketmoqda deb faraz qilamiz (demak, astarlangan ramkada dx ′ / dt ′). Shunday qilib
d
x
/
d
t
=
v
A
∣
O
{\displaystyle dx/dt=v_{A\mid O}}
va
d
x
′
/
d
t
=
v
A
∣
O
′
{\displaystyle dx'/dt=v_{A\mid O'}}
, bu yerda
O
{\displaystyle O}
va
O
′
{\displaystyle O'}
mos ravishda astarlanmagan va astarlangan ramkada kuzatuvchi tomonidan koʻrilgan A ning harakatiga murojaat qiling. Eslatib oʻtamiz, v — chegaralanmagan ramkadan koʻrinib turganidek, qoʻzgʻalmas jismning chegaralangan ramkadagi harakati. Shunday qilib, bizda bor
v
=
v
O
′
∣
O
{\displaystyle v=v_{O'\mid O}}
, va:
v
A
∣
O
′
=
v
A
∣
O
−
v
O
′
∣
O
⇒
v
A
∣
O
=
v
A
∣
O
′
+
v
O
′
∣
O
,
{\displaystyle v_{A\mid O'}=v_{A\mid O}-v_{O'\mid O}\Rightarrow v_{A\mid O}=v_{A\mid O'}+v_{O'\mid O},}
bu yerda oxirgi shakl istalgan (oson oʻrganilgan) simmetriyaga ega.
Maxsus nisbiylik
Klassik mexanikada boʻlgani kabi, maxsus nisbiylik nazariyasida ham nisbiy tezlik
v
→
B
|
A
{\displaystyle {\vec {v}}_{\mathrm {B|A} }}
ob’ekt yoki kuzatuvchi
B ning boshqa ob’ekt yoki kuzatuvchi
A ning dam olish ramkasidagi tezligi. Biroq, klassik mexanika misolidan farqli oʻlaroq, maxsus nisbiylik nazariyasida, odatda, bunday
emas v
→
B
|
A
=
−
v
→
A
|
B
{\displaystyle {\vec {v}}_{\mathrm {B|A} }=-{\vec {v}}_{\mathrm {A|B} }}
Ushbu oʻziga xos simmetriya etishmasligi Tomas presessiyasi va ikkita ketma-ket Lorentz transformatsiyasining koordinata tizimini aylantirishi bilan bogʻliq. Bu aylanish vektorning kattaligiga taʼsir qilmaydi va shuning uchun nisbiy tezlik nosimmetrikdir.
‖
v
→
B
|
A
‖
=
‖
v
→
A
|
B
‖
=
v
B
|
A
=
v
A
|
B
{\displaystyle \|{\vec {v}}_{\mathrm {B|A} }\|=\|{\vec {v}}_{\mathrm {A|B} }\|=v_{\mathrm {B|A} }=v_{\mathrm {A|B} }}
Parallel tezliklar
Ikki jism parallel yoʻnalishda harakat qilganda, nisbiy tezlikning relativistik formulasi nisbiy tezliklarni qoʻshish formulasiga oʻxshashdir.
v
→
B
|
A
=
v
→
B
−
v
→
A
1
−
v
→
A
v
→
B
c
2
{\displaystyle {\vec {v}}_{\mathrm {B|A} }={\frac {{\vec {v}}_{\mathrm {B} }-{\vec {v}}_{\mathrm {A} }}{1-{\frac {{\vec {v}}_{\mathrm {A} }{\vec {v}}_{\mathrm {B} }}{c^{2}}}}}}
Nisbiy
tezlik quyidagi formula bilan ifodalanadi:
v
B
|
A
=
|
v
→
B
−
v
→
A
|
1
−
v
→
A
v
→
B
c
2
{\displaystyle v_{\mathrm {B|A} }={\frac {\left|{\vec {v}}_{\mathrm {B} }-{\vec {v}}_{\mathrm {A} }\right|}{1-{\frac {{\vec {v}}_{\mathrm {A} }{\vec {v}}_{\mathrm {B} }}{c^{2}}}}}}
Perpendikulyar tezliklar
Ikki jism perpendikulyar yoʻnalishda harakatlansa, relyativistik nisbiy tezlik
v
→
B
|
A
{\displaystyle {\vec {v}}_{\mathrm {B|A} }}
formula bilan beriladi:
v
→
B
|
A
=
v
→
B
γ
A
−
v
→
A
{\displaystyle {\vec {v}}_{\mathrm {B|A} }={\frac {{\vec {v}}_{\mathrm {B} }}{\gamma _{\mathrm {A} }}}-{\vec {v}}_{\mathrm {A} }}
bu yerda
γ
A
=
1
1
−
(
v
A
c
)
2
{\displaystyle \gamma _{\mathrm {A} }={\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {v_{\mathrm {A} }}{c}}\right)^{2}}}}}
Nisbiy tezlik bu formula bilan berilgan
v
B
|
A
=
c
4
−
(
c
2
−
v
A
2
)
(
c
2
−
v
B
2
)
c
{\displaystyle v_{\mathrm {B|A} }={\frac {\sqrt {c^{4}-\left(c^{2}-v_{\mathrm {A} }^{2}\right)\left(c^{2}-v_{\mathrm {B} }^{2}\right)}}{c}}}
Umumiy holat
Nisbiy tezlikning umumiy formulasi
v
→
B
|
A
{\displaystyle {\vec {v}}_{\mathrm {B|A} }}
ob’ekt yoki kuzatuvchi
B ning boshqa ob’ekt yoki kuzatuvchi
A ning tinchlikdagi holati quyidagi formula bilan aniqlanadi:
v
→
B
|
A
=
1
γ
A
(
1
−
v
→
A
v
→
B
c
2
)
[
v
→
B
−
v
→
A
+
v
→
A
(
γ
A
−
1
)
(
v
→
A
⋅
v
→
B
v
A
2
−
1
)
]
{\displaystyle {\vec {v}}_{\mathrm {B|A} }={\frac {1}{\gamma _{\mathrm {A} }\left(1-{\frac {{\vec {v}}_{\mathrm {A} }{\vec {v}}_{\mathrm {B} }}{c^{2}}}\right)}}\left[{\vec {v}}_{\mathrm {B} }-{\vec {v}}_{\mathrm {A} }+{\vec {v}}_{\mathrm {A} }(\gamma _{\mathrm {A} }-1)\left({\frac {{\vec {v}}_{\mathrm {A} }\cdot {\vec {v}}_{\mathrm {B} }}{v_{\mathrm {A} }^{2}}}-1\right)\right]}
bu yerda
γ
A
=
1
1
−
(
v
A
c
)
2
{\displaystyle \gamma _{\mathrm {A} }={\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {v_{\mathrm {A} }}{c}}\right)^{2}}}}}
Nisbiy tezlik bu formula bilan berilgan
v
B
|
A
=
1
−
(
c
2
−
v
A
2
)
(
c
2
−
v
B
2
)
(
c
2
−
v
→
A
⋅
v
→
B
)
2
⋅
c
{\displaystyle v_{\mathrm {B|A} }={\sqrt {1-{\frac {\left(c^{2}-v_{\mathrm {A} }^{2}\right)\left(c^{2}-v_{\mathrm {B} }^{2}\right)}{\left(c^{2}-{\vec {v}}_{\mathrm {A} }\cdot {\vec {v}}_{\mathrm {B} }\right)^{2}}}}}\cdot c}
Manbalar
Havolalar
uz.wikipedia.org