Modulning parchalanishi
Mavhum algebrada
modulning parchalanishi modulni modullarning bevosita yigʻindisi sifatida yozish usulidir. Modullarni aniqlash yoki tavsiflash uchun koʻpincha parchalanish turlaridan qoʻllaniladi: masalan, yarim oddiy modul oddiy modullarga parchalanishi boʻlgan moduldir. Ringni hisobga olgan holda, halqa ustidagi modullarning parchalanish turlaridan uzluklilikni aniqlash yoki tavsiflash uchun ham foydalanish mumkin: uzuk yarim oddiy hisoblanadi, agar uning ustidagi har bir modul yarim oddiy modul boʻladi.
Ayrılabilir modul ikki nol boʻlmagan submodullarning toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindisi boʻlmagan moduldir.
Azumaya teoremasi shuni koʻrsatadiki, agar modul mahalliy endomorfizm halqalari boʻlgan modullarga parchalanishga ega boʻlsa, u holda ajralmaydigan modullarga barcha parchalanishlar bir-biriga ekvivalent boʻladi; Buning alohida holati, ayniqsa, guruh nazariyasida, Krull-Shmidt teoremasi deb nomlanadi.
Modul parchalanishining alohida holati halqaning parchalanishidir: masalan, halqa yarim oddiy boʻladi, agar u boʻlinish halqalari ustidagi matritsa halqalarining toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindisi (aslida mahsulot) boʻladi (bu kuzatuv shunday deb nomlanadi). Artin-Vedderbern teoremasi).
Idempotentlar va parchalanishlar
Modulning toʻgʻridan-toʻgʻri toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindisini submodullarga ajratish modulning endomorfizm halqasida identifikatsiya xaritasini toʻplaydigan ortogonal idempotentlarni berish bilan bir xildir. Haqiqatan ham, agar
M
=
⨁
i
∈
I
M
i
{\textstyle M=\bigoplus _{i\in I}M_{i}}
, keyin, har biri uchun
i
∈
I
{\displaystyle i\in I}
, chiziqli endomorfizm
e
i
:
M
→
M
i
↪
M
{\displaystyle e_{i}:M\to M_{i}\hookrightarrow M}
tabiiy proyeksiya tomonidan berilgan, undan keyin tabiiy inklyuziya idempotentdir . Ular bir-biriga aniq ortogonaldir (
e
i
e
j
=
0
{\displaystyle e_{i}e_{j}=0}
uchun
i
≠
j
{\displaystyle i\neq j}
) va ular identifikatsiya xaritasini jamlaydi. Bular:
1
M
=
∑
i
∈
I
e
i
{\displaystyle 1_{\operatorname {M} }=\sum _{i\in I}e_{i}}
endomorfizmlar sifatida (bu erda yigʻindi yaxshi aniqlangan, chunki u modulning har bir elementida cheklangan yigʻindi). Aksincha, ortogonal idempotentlarning har bir toʻplami
{
e
i
}
i
∈
I
{\displaystyle \{e_{i}\}_{i\in I}}
Shunday qilib, faqat cheksiz koʻp
e
i
(
x
)
{\displaystyle e_{i}(x)}
har biri uchun nolga teng
x
∈
M
{\displaystyle x\in M}
va
∑
e
i
=
1
M
\sum e_{i}=1_{M}
olish orqali toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindining parchalanishini aniqlanadi
M
i
{\displaystyle M_{i}}
tasvirlari boʻlish
e
i
{\displaystyle e_{i}}
ga teng.
Bu fakt allaqachon halqaning mumkin boʻlgan parchalanishiga baʼzi cheklovlar qoʻyadi: halqa berilgan
R
{\displaystyle R}
, dekompozitsiya bor deylik
R
R
=
⨁
a
∈
A
I
a
{\displaystyle {}_{R}R=\bigoplus _{a\in A}I_{a}}
R
{\displaystyle R}
ning oʻzi ustidan chap modul sifatida, qaerda
I
a
{\displaystyle I_{a}}
chap submodullar; yaʼni, chap ideallar . Har bir endomorfizm
R
R
→
R
R
{\displaystyle {}_{R}R\to {}_{R}R}
R elementi bilan toʻgʻri koʻpaytirish bilan aniqlanishi mumkin; shunday qilib,
I
a
=
R
e
a
{\displaystyle I_{a}=Re_{a}}
qayerda
e
a
{\displaystyle e_{a}}
ning idempotentlari hisoblanadi
End
(
R
R
)
≃
R
{\displaystyle \operatorname {End} ({}_{R}R)\simeq R}
.Idempotent endomorfizmlarning yigʻindisi R birligining parchalanishiga mos keladi:
1
R
=
∑
a
∈
A
e
a
∈
⨁
a
∈
A
I
a
{\textstyle 1_{R}=\sum _{a\in A}e_{a}\in \bigoplus _{a\in A}I_{a}}
, bu shartli ravishda cheklangan yigʻindi; ayniqsa,
A
{\displaystyle A}
chekli toʻplam boʻlishi kerak.
Masalan,
R
=
M
n
(
D
)
{\displaystyle R=\operatorname {M} _{n}(D)}
, boʻlinish halqasi ustidagi n -uchun- n matritsalar halqasi D. Keyin
R
R
{\displaystyle {}_{R}R}
n nusxasining toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindisidir
D
n
{\displaystyle D^{n}}
, ustunlar; har bir ustun oddiy chap R -submodul yoki, boshqacha qilib aytganda, minimal chap ideal.
R halqa boʻlsin. Faraz qilaylik, uning oʻzidan chap modul sifatida parchalanishi (majburiy ravishda cheklangan) mavjud.
R
R
=
R
1
⊕
⋯
⊕
R
n
{\displaystyle {}_{R}R=R_{1}\oplus \cdots \oplus R_{n}}
ikki tomonlama ideallarga aylanadi
R
i
{\displaystyle R_{i}}
ning R . Yuqoridagi kabi,
R
i
=
R
e
i
{\displaystyle R_{i}=Re_{i}}
baʼzi ortogonal idempotentlar uchun
e
i
{\displaystyle e_{i}}
shu kabi
1
=
∑
1
n
e
i
{\displaystyle \textstyle {1=\sum _{1}^{n}e_{i}}}
. beri
R
i
{\displaystyle R_{i}}
idealdir,
e
i
R
⊂
R
i
{\displaystyle e_{i}R\subset R_{i}}
va hokazo
e
i
R
e
j
⊂
R
i
∩
R
j
=
0
{\displaystyle e_{i}Re_{j}\subset R_{i}\cap R_{j}=0}
uchun
i
≠
j
{\displaystyle i\neq j}
. Keyin, har bir i uchun,
e
i
r
=
∑
j
e
j
r
e
i
=
∑
j
e
i
r
e
j
=
r
e
i
.
{\displaystyle e_{i}r=\sum _{j}e_{j}re_{i}=\sum _{j}e_{i}re_{j}=re_{i}.}
Yaʼni,
e
i
{\displaystyle e_{i}}
markazda joylashgan; yaʼni ular markaziy idempotentlardir .Shubhasiz, argument teskari boʻlishi mumkin va shuning uchun toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindining ideallarga boʻlinishi va birlik 1 ga toʻgʻri keladigan ortogonal markaziy idempotentlar oʻrtasida birma-bir moslik mavjud. Shuningdek, har biri
R
i
{\displaystyle R_{i}}
oʻzi — oʻz-oʻzidan halqa tomonidan berilgan birlik
e
i
{\displaystyle e_{i}}
va halqa sifatida R mahsulot halqasidir
R
1
×
⋯
×
R
n
.
{\displaystyle R_{1}\times \cdots \times R_{n}.}
Masalan, yana oling
R
=
M
n
(
D
)
{\displaystyle R=\operatorname {M} _{n}(D)}
. Bu halqa oddiy halqadir; xususan, u ikki tomonlama ideallarga notrivial parchalanishga ega emas.
Parchalanish turlari
Toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindining bir necha turlari oʻrganilgan:
Oddiy modul ajralmaydigan boʻlgani uchun, yarim oddiy parchalanish ajralmaydigan parchalanishdir (lekin aksincha emas). Agar modulning endomorfizm halqasi mahalliy boʻlsa, u holda, xususan, notrivial idempotentga ega boʻlishi mumkin emas chunki modul ajratilmaydi. Shunday qilib, mahalliy endomorfizm halqalari bilan parchalanish ajralmas parchalanish boʻladi.
Toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindi, agar u ajralmaydigan toʻldiruvchini qabul qilsa, maksimal parchalanish deyiladi. Parchalanish
M
=
⨁
i
∈
I
M
i
{\displaystyle \textstyle {M=\bigoplus _{i\in I}M_{i}}}
Agar M ning har bir maksimal toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindisi L uchun kichik toʻplam mavjud boʻlsa, maksimal toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindilarni toʻldiruvchi deyiladi.
J
⊂
I
{\displaystyle J\subset I}
shu kabi
M
=
(
⨁
j
∈
J
M
j
)
⨁
L
.
{\displaystyle M=\left(\bigoplus _{j\in J}M_{j}\right)\bigoplus L.}
[6].
Ikki parchalanish
M
=
⨁
i
∈
I
M
i
=
⨁
j
∈
J
N
j
{\displaystyle M=\bigoplus _{i\in I}M_{i}=\bigoplus _{j\in J}N_{j}}
bijection mavjud boʻlsa, ekvivalent deyiladi
φ
:
I
→
∼
J
{\displaystyle \varphi :I{\overset {\sim }{\to }}J}
har biri uchun shunday
i
∈
I
{\displaystyle i\in I}
,
M
i
≃
N
φ
(
i
)
{\displaystyle M_{i}\simeq N_{\varphi (i)}}
.Agar modul maksimal toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindilarni toʻldiruvchi ajralmaydigan dekompozitsiyani qabul qilsa, modulning har qanday ikkita ajralmaydigan parchalanishi ekvivalent boʻladi.
Azumaya teoremasi
Eng oddiy shaklda
Azumaya teoremasida aytiladi.Sunday parchalanish berilgan
M
=
⨁
i
∈
I
M
i
{\displaystyle M=\bigoplus _{i\in I}M_{i}}
Shunday qilib, har birining endomorfizm halqasi
M
i
{\displaystyle M_{i}}
mahalliy (shuning uchun parchalanish ajralmas), M ning har bir parchalanmaydigan parchalanishi shu berilgan parchalanishga teng. Teoremaning aniqroq versiyasida aytiladi.Bunday parchalanish berilgan, agar
M
=
N
⊕
K
{\displaystyle M=N\oplus K}
, keyin
Cheklangan uzunlikdagi ajratilmaydigan modulning endomorfizm halqasi lokaldir (masalan, Fitting lemmasi boʻyicha) va shuning uchun Azumaya teoremasi Krull-Shmidt teoremasini isbotlash uchun qoʻllaniladi. Darhaqiqat, agar M cheklangan uzunlikdagi modul boʻlsa, u holda uzunlik boʻyicha induksiya boʻyicha u cheklangan parchalanmaydigan parchalanishga ega.
M
=
⨁
i
=
1
n
M
i
{\textstyle M=\bigoplus _{i=1}^{n}M_{i}}
, bu mahalliy endomorfizm halqalari bilan parchalanishdir. Aytaylik, bizga parchalanib boʻlmaydigan parchalanish berilgan
M
=
⨁
i
=
1
m
N
i
{\textstyle M=\bigoplus _{i=1}^{m}N_{i}}
. Keyin u birinchisiga teng boʻlishi kerak: shunday
m
=
n
{\displaystyle m=n}
va
M
i
≃
N
σ
(
i
)
{\displaystyle M_{i}\simeq N_{\sigma (i)}}
baʼzi almashtirish uchun
σ
{\displaystyle \sigma }
ning
{
1
,
…
,
n
}
{\displaystyle \{1,\dots ,n\}}
. Aniqrogʻi, beri
N
1
{\displaystyle N_{1}}
ajralmas,
M
=
M
i
1
⨁
(
⨁
i
=
2
n
N
i
)
{\textstyle M=M_{i_{1}}\bigoplus (\bigoplus _{i=2}^{n}N_{i})}
baʼzilar uchun
i
1
{\displaystyle i_{1}}
. Keyin, beri
N
2
{\displaystyle N_{2}}
ajralmas,
M
=
M
i
1
⨁
M
i
2
⨁
(
⨁
i
=
3
n
N
i
)
{\textstyle M=M_{i_{1}}\bigoplus M_{i_{2}}\bigoplus (\bigoplus _{i=3}^{n}N_{i})}
va hokazo; yaʼni har bir summani toʻldiradi
⨁
i
=
l
n
N
i
{\textstyle \bigoplus _{i=l}^{n}N_{i}}
baʼzilarining toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindisi sifatida qabul qilinishi mumkin
M
i
{\displaystyle M_{i}}
ning qiymatidir.
Yana bir ilova quyidagi bayonotdir (bu Kaplanskiyning proyektiv modullar haqidagi teoremasini isbotlashning asosiy bosqichidir):
Buni koʻrish uchun cheklangan toʻplamni tanlang
F
⊂
I
{\displaystyle F\subset I}
shu kabi
x
∈
⨁
j
∈
F
M
j
{\textstyle x\in \bigoplus _{j\in F}M_{j}}
. Keyin, yozish
M
=
N
⊕
L
{\displaystyle M=N\oplus L}
, Azumaya teoremasi boʻyicha,
M
=
(
⊕
j
∈
F
M
j
)
⊕
N
1
⊕
L
1
{\displaystyle M=(\oplus _{j\in F}M_{j})\oplus N_{1}\oplus L_{1}}
baʼzi toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindilar bilan
N
1
,
L
1
{\displaystyle N_{1},L_{1}}
ning
N
,
L
{\displaystyle N,L}
va keyin, modul qonuniga koʻra,
N
=
H
⊕
N
1
{\displaystyle N=H\oplus N_{1}}
bilan
H
=
(
⊕
j
∈
F
M
j
⊕
L
1
)
∩
N
{\displaystyle H=(\oplus _{j\in F}M_{j}\oplus L_{1})\cap N}
. Keyin, beri
L
1
{\displaystyle L_{1}}
ning bevosita yig‘indisidir
L
{\displaystyle L}
, yozishimiz mumkin
L
=
L
1
⊕
L
1
′
{\displaystyle L=L_{1}\oplus L_{1}'}
undan keyin
⊕
j
∈
F
M
j
≃
H
⊕
L
1
′
{\displaystyle \oplus _{j\in F}M_{j}\simeq H\oplus L_{1}'}
, bu F chekli boʻlgani uchun, bu degani
H
≃
⊕
j
∈
J
M
j
{\displaystyle H\simeq \oplus _{j\in J}M_{j}}
baʼzi J uchun Azumaya teoremasini takroran qoʻllash orqali hisoblanadi.
Azumaya teoremasini oʻrnatishda, agar qoʻshimcha ravishda har bir
M
i
{\displaystyle M_{i}}
hisoblash mumkin boʻlsa, quyidagi takomillashtirish mavjud (dastlab Krouli-Jonsson va keyinchalik Uorfild tufayli):
N
{\displaystyle N}
ga izomorfdir
⨁
j
∈
J
M
j
{\displaystyle \bigoplus _{j\in J}M_{j}}
baʼzi bir kichik toʻplam uchun
J
⊂
I
{\displaystyle J\subset I}
(Maʼlum maʼnoda, bu Kaplanskiy teoremasining kengaytmasi va teoremani isbotlashda ishlatiladigan ikkita lemma bilan isbotlangan.), bu taxmin nomaʼlum „
M
i
{\displaystyle M_{i}}
countably genered“ ni oʻchirib qoʻyish mumkin; yaʼni, bu yaxshilangan versiya judayam toʻgʻri.
Halqaningning parchalanishi
Halqaning parchalanishi boʻyicha Artin-Vedderbern teoremasi deb nomlanuvchi eng asosiy, ammo muhim kuzatuv bu: R halqasi berilganda, quyidagilar ekvivalentligidir:
Birinchi ikkitasining ekvivalentligini koʻrish uchun eʼtibor bering: agar
R
R
≃
⨁
i
=
1
r
I
i
⊕
m
i
{\textstyle {}_{R}R\simeq \bigoplus _{i=1}^{r}I_{i}^{\oplus m_{i}}}
qayerda
I
i
{\displaystyle I_{i}}
oʻzaro izomorf boʻlmagan chap minimal ideallar, demak, endomorfizmlar oʻngdan harakat qiladi.
R
≃
End
(
R
R
)
≃
⨁
i
=
1
r
End
(
I
i
⊕
m
i
)
{\displaystyle R\simeq \operatorname {End} ({}_{R}R)\simeq \bigoplus _{i=1}^{r}\operatorname {End} (I_{i}^{\oplus m_{i}})}
har biri qaerda
End
(
I
i
⊕
m
i
)
{\displaystyle \operatorname {End} (I_{i}^{\oplus m_{i}})}
boʻlinish halqasi ustidagi matritsa halqasi sifatida koʻrish mumkin
D
i
=
End
(
I
i
)
{\displaystyle D_{i}=\operatorname {End} (I_{i})}
. (Buning aksi shundaki, 2.ning parchalanishi minimal chap ideallarga = oddiy chap submodullarga parchalanishga teng boʻladi.) Ekvivalentlik 1.
⇔
{\displaystyle \Leftrightarrow }
3. chunki har bir modul boʻsh modulning qismidir va yarim oddiy modulning qismi aniq yarim oddiy moduldir.
Yana qarang
Manbalar
uz.wikipedia.org