Maydon (algebra)
A birli kommutativ halqada har bir noldan farqli elementi teska-rilanuvchi bŏlsa, u holda A kommutativ xalqa maydon deyiladi.
Misol. x, y, z, t - lar
(
P
,
+
,
⋅
)
{\displaystyle (P,+,\cdot )}
maydonning ixtiyoriy elementlari va y
≠
{\displaystyle \neq }
0, t
≠
{\displaystyle \neq }
0 bo’lsin.
x
y
{\displaystyle {x \over y}}
±
{\displaystyle \pm }
z
t
{\displaystyle {z \over t}}
=
x
t
±
y
z
y
t
{\displaystyle {xt\pm yz \over yt}}
ni isbot qiling.
Yechish. Maydonda ko’paytirish kommutativ bo’lgani uchun ixtiyoriy y
≠
{\displaystyle \neq }
0 uchun
x
y
−
1
{\displaystyle xy^{-1}}
=
y
−
1
x
{\displaystyle y^{-1}x}
va bu ifodalarning har birini
x
y
{\displaystyle {\frac {x}{y}}}
kasr shaklida ifodalash hech qanday aniqsizlikka olib kelmaydi.Shuning uchun isbotlanayotgan tenglikning chap tomoni
x
y
−
1
±
z
t
−
1
=
x
y
−
1
t
t
−
1
±
z
t
−
1
y
y
−
1
=
x
t
(
y
t
)
−
1
±
y
z
(
y
t
)
−
1
=
(
x
t
±
y
z
)
(
y
t
)
−
1
,
{\displaystyle xy^{-1}\pm zt^{-1}=xy^{-1}tt^{-1}\pm zt^{-1}yy^{-1}=xt(yt)^{-1}\pm yz(yt)^{-1}=(xt\pm yz)(yt)^{-1},}
yaʼni oʻng tomoniga teng.shu bilan birga nolning boʻluvchilari mavjud emasligi sababidan
y
≠
0
,
t
≠
0
{\displaystyle y\neq 0,t\neq 0}
dan
y
t
≠
0
{\displaystyle yt\neq 0}
kelib chiqadi.
Agar
(
P
,
+
,
⋅
)
{\displaystyle (P,+,\cdot )}
maydon biri (birlik elementi) ning hamma butun karralilari P ning elementlaridan iborat bo’lsa, ya’ni
k
=
ℓ
{\displaystyle k=\ell }
uchun
k
⋅
1
≠
l
⋅
1
{\displaystyle k\cdot 1\neq l\cdot 1}
bo’lsa R maydon nol xarakteristikaga ega deyiladi va
c
h
a
r
P
=
0
{\displaystyle charP=0}
shaklda yoziladi. Aks holda
1
<
m
<
p
{\displaystyle 1<m<p}
uchun
p
⋅
1
=
0
,
{\displaystyle p\cdot 1=0,}
ammo
m
⋅
1
≠
0
{\displaystyle m\cdot 1\neq 0}
bo’lsa, r natural son R maydonning xarakteristikasi deyiladi va
c
h
a
r
P
=
p
{\displaystyle charP=p}
qilib yoziladi. Boshqacha qilib aytganda, maydonning biri uning additiv gruppasida cheksiz tartibli element bo’lsa, maydonning xarakteristikasi nolga teng deyiladi, aks holda maydonning xarakteristikasi deb maydon birining uning additiv gruppasidagi tartibiga aytiladi.
uz.wikipedia.org