Maksvellning elektromagnit kuchlanishlar tenzori
Vaqt birligidagi impuls oʻzgarishi taʼsir qiluvchi kuchga tengdir. Demak,
∂
∂
t
(
g
m
+
g
s
)
=
div
(
2
)
T
;
(
1
)
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left({\textbf {g}}_{m}+{\textbf {g}}_{s}\right)={\textrm {div}}^{(2)}{\textbf {T}};\ \ \ \ \ \ \ (1)}
tenglamaga muvofiq, hajmda taʼsir qiluvchi elektromagnit kuchlar zichligi
div
(
2
)
T
{\displaystyle {\textrm {div}}^{(2)}{\textbf {T}}}
bilan bogʻlangan boʻladi. U vaqtda,
∮
T
n
d
σ
=
∫
div
(
2
)
T
d
V
;
(
2
)
{\displaystyle \oint {\textbf {T}}_{n}d\sigma =\int {\textrm {div}}^{(2)}{\textbf {T}}dV;\ \ \ \ \ \ \ (2)}
ifodadan koʻrish mumkinki, hajmda taʼsir qiluvchi elektromagnit kuchlarni shu hajmni chegaralovchi yopiq sirtga taʼsir qiluvchi elektromagnit kuchlar bilan almashtirish mumkin. Shu sababli elektromagnit impuls oqimining zichlik tenzori
(
2
)
T
{\displaystyle ^{(2)}{\textbf {T}}}
Maxwellning elektromagnit kuchlanishlar tenzori deb ham yuritiladi. Bu tenglamaning komponentlari:
T
x
x
=
1
4
π
(
E
x
2
+
H
x
2
)
−
1
8
π
(
E
2
+
H
2
)
,
{\displaystyle T_{xx}={\frac {1}{4\pi }}\left(E_{x}^{2}+H_{x}^{2}\right)-{\frac {1}{8\pi }}\left(E^{2}+H^{2}\right),}
T
x
y
=
1
4
π
(
E
x
E
y
+
H
x
H
y
)
,
{\displaystyle T_{xy}={\frac {1}{4\pi }}\left(E_{x}E_{y}+H_{x}H_{y}\right),}
T
x
z
=
1
4
π
(
E
x
E
z
+
H
x
H
z
)
,
{\displaystyle T_{xz}={\frac {1}{4\pi }}\left(E_{x}E_{z}+H_{x}H_{z}\right),}
T
y
x
=
1
4
π
(
E
y
E
x
+
H
y
H
x
)
,
{\displaystyle T_{yx}={\frac {1}{4\pi }}\left(E_{y}E_{x}+H_{y}H_{x}\right),}
T
y
y
=
1
4
π
(
E
y
2
+
H
y
2
)
−
1
8
π
(
E
2
+
H
2
)
,
{\displaystyle T_{yy}={\frac {1}{4\pi }}\left(E_{y}^{2}+H_{y}^{2}\right)-{\frac {1}{8\pi }}\left(E^{2}+H^{2}\right),}
T
y
z
=
1
4
π
(
E
y
E
z
+
H
y
H
z
)
,
{\displaystyle T_{yz}={\frac {1}{4\pi }}\left(E_{y}E_{z}+H_{y}H_{z}\right),}
T
z
x
=
1
4
π
(
E
z
E
x
+
H
z
H
x
)
,
{\displaystyle T_{zx}={\frac {1}{4\pi }}\left(E_{z}E_{x}+H_{z}H_{x}\right),}
T
z
y
=
1
4
π
(
E
z
E
y
+
H
z
H
y
)
,
{\displaystyle T_{zy}={\frac {1}{4\pi }}\left(E_{z}E_{y}+H_{z}H_{y}\right),}
T
z
z
=
1
4
π
(
E
z
2
+
H
z
2
)
−
1
8
π
(
E
2
+
H
2
)
;
(
3
)
{\displaystyle T_{zz}={\frac {1}{4\pi }}\left(E_{z}^{2}+H_{z}^{2}\right)-{\frac {1}{8\pi }}\left(E^{2}+H^{2}\right);\ \ \ \ \ (3)}
;
Maxwell tenzori uchun
T
n
=
(
T
x
n
)
i
+
(
T
y
n
)
j
+
(
T
z
n
)
k
;
(
4
)
{\displaystyle {\textbf {T}}_{n}=({\textbf {T}}_{x}{\textbf {n}}){\textbf {i}}+({\textbf {T}}_{y}{\textbf {n}}){\textbf {j}}+({\textbf {T}}_{z}{\textbf {n}}){\textbf {k}};\ \ \ \ \ (4)}
ga asosan quyidagilarni yozish mumkin:
T
n
x
=
T
x
x
n
x
+
T
x
y
n
y
+
T
x
z
n
z
,
{\displaystyle T_{nx}=T_{xx}n_{x}+T_{xy}n_{y}+T_{xz}n_{z},}
T
n
y
=
T
y
x
n
x
+
T
y
y
n
y
+
T
y
z
n
z
,
{\displaystyle T_{ny}=T_{yx}n_{x}+T_{yy}n_{y}+T_{yz}n_{z},}
T
n
z
=
T
z
x
n
x
+
T
z
y
n
y
+
T
z
z
n
z
,
(
5
)
{\displaystyle T_{nz}=T_{zx}n_{x}+T_{zy}n_{y}+T_{zz}n_{z},\ \ \ \ \ \ \ (5)}
Maxwellning elektr kuchlanishlar tenzori
Elektr maydon yoʻnalishi
x oʻqining yoʻnalishi bilan mos tushsin (1-rasm). Kuchlanganlik vektori
E
{\displaystyle {\textbf {E}}}
va elementar yuzacha normalining
n
{\displaystyle {\textbf {n}}}
orti qogʻoz sirtida yotsin, ular orasidagi burchak
φ
{\displaystyle \varphi }
boʻladi,
y oʻqi, demak,
j
{\displaystyle {\textbf {j}}}
ort qogʻoz sirtiga perpendikulyar qilib olinsa,
z oʻqi, yaʼni
k
{\displaystyle {\textbf {k}}}
ort rasmda koʻrsatilganidek yoʻnalgan boʻladi.
Agar faqatgina elektr maydongina mavjud deb qaralsa, u holda:
E
x
=
E
,
E
y
=
0
,
E
z
=
0
,
{\displaystyle E_{x}=E,\ \ \ E_{y}=0,\ \ \ E_{z}=0,}
H
x
=
0
,
H
y
=
0
,
H
z
=
0
;
(
6
)
{\displaystyle H_{x}=0,\ \ \ H_{y}=0,\ \ \ H_{z}=0;\ \ \ \ \ \ \ (6)}
Normal ortining komponentlari esa
n
x
=
cos
φ
,
n
y
=
0
,
n
z
=
sin
φ
;
(
7
)
{\displaystyle n_{x}=\cos \varphi ,\ \ \ n_{y}=0,\ \ \ n_{z}=\sin \varphi ;\ \ \ \ \ \ \ (7)}
Maxwell tenzori komponentlari (6) va (7) ga muvofiq:
T
x
x
=
E
2
8
π
,
T
x
y
=
0
,
T
x
z
=
0
,
{\displaystyle T_{xx}={\frac {E^{2}}{8\pi }},\ \ \ T_{xy}=0,\ \ \ T_{xz}=0,}
T
y
x
=
0
,
T
y
y
=
E
2
8
π
,
T
x
z
=
0
,
{\displaystyle T_{yx}=0,\ \ \ T_{yy}={\frac {E^{2}}{8\pi }},\ \ \ T_{xz}=0,}
T
z
x
=
0
,
T
z
y
=
0
,
T
z
z
=
E
2
8
π
;
(
8
)
{\displaystyle T_{zx}=0,\ \ \ T_{zy}=0,\ \ \ T_{zz}={\frac {E^{2}}{8\pi }};\ \ \ \ \ \ \ (8)}
Demak, elektr maydon yoʻnalishiga perpendikulyar qoʻyilgan elementar yuzacha birligiga maydon boʻylab taʼsir qiluvchi kuch, yaʼni normal kuchlanish
T
x
x
{\displaystyle T_{xx}}
bilan ifodalanadi va maydon energiyasi zichligi bilan oʻlchanadi. Elektr maydon yoʻnalishid yotgan elementar yuza birligiga uning normaliga qarama qarshi yoʻnalishda taʼsir qiluvchi kuch, yaʼni bosim
T
y
y
{\displaystyle T_{yy}}
yoki
T
z
z
{\displaystyle T_{zz}}
bilan ifodalanadi va maydon energiyasi zichligi bilan oʻlchanadi.
(6) va (7) ga muvofiq (3) ni quyidagicha yozish mumkin:
T
n
x
=
E
2
8
π
cos
φ
,
T
n
y
=
0
,
T
n
z
=
−
E
2
8
π
sin
φ
;
(
9
)
{\displaystyle T_{nx}={\frac {E^{2}}{8\pi }}\cos \varphi ,\ \ \ T_{ny}=0,\ \ \ T_{nz}=-{\frac {E{2}}{8\pi }}\sin \varphi ;\ \ \ \ \ \ (9)}
demak,
|
T
n
=
E
2
8
π
;
(
10
)
{\displaystyle |{\textbf {T}}_{n}={\frac {E^{2}}{8\pi }};\ \ \ \ \ \ \ (10)}
yaʼni elementar yuza birligiga taʼsir qiluvchi maydon kuchining son qiymati maydon energiyasining zichligiga teng, ammo maydon yoʻnalishining elementar yuzachaga nisbatan qandayligiga bogʻliq emas.
Elektr kuchlanishlar tenzori bilan magnit kuchlanishlar tenzori yigʻindisi elektromagnit kuchlanishlar tenzorini hosil qiladi
Yana qarang
Adabiyotlar
uz.wikipedia.org