Lopital qoidasi
Lopital teoremasi (shuningdek, Bernulli — Lopital qoidasi) — bu
0
/
0
{\displaystyle 0/0}
va
∞
/
∞
{\displaystyle \infty /\infty }
shaklining noaniqliklarini ochib beradigan funksiyalar chegaralarini topish usuli. Usulni asoslovchi teorema maʼlum sharoitlarda funksiyalar nisbati chegarasi ularning hosilalari nisbati chegarasiga teng ekanligini tasdiqlaydi.
Aniq ifodalanishi
Lopital teoremasi:
Agar:
f
(
x
)
,
g
(
x
)
{\displaystyle f(x),\,g(x)}
a
{\displaystyle a}
nuqtaning
U
{\displaystyle U}
teshilgan atrofida differensiallanadigan haqiqatan qiymatli funksiyalardir, buyerda
a
{\displaystyle a}
haqiqiy son yoki
+
∞
,
−
∞
,
∞
{\displaystyle +\infty ,-\infty ,\infty }
belgilaridan biri, buning ustiga
bunday holda
lim
x
→
a
f
(
x
)
g
(
x
)
=
lim
x
→
a
f
′
(
x
)
g
′
(
x
)
{\displaystyle \lim \limits _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim \limits _{x\to a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}
mavjud.
Chegaralar ham bir tomonlama bo‘lishi mumkin.
Tarix
Ushbu turdagi noaniqlikni hal qilish usuli Giyom Lopital tomonidan 1696 yilda „Analyse des Infiniment Petits“ darsligida nashr etilgan. Usul Lopitalga uning kashfiyotchisi Iogan Bernulli tomonidan maktubda xabar qilingan.
Misollar
Natija
Lopital qoidasining oddiy, ammo foydali natijasi, funksiyalarning differentsialligi mezoni quyidagicha:
a
{\displaystyle a}
nuqtaning teshilgan atrofida
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
funksiyasi differensiallanuvchi bo‘lsin va aynan shu nuqtada u uzluksiz va hosilaviy
lim
x
→
a
f
′
(
x
)
=
A
{\displaystyle \lim _{x\to a}f'(x)=A}
chegaraga ega. Bunda
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
funksiyasi
a
{\displaystyle a}
nuqtaning o‘zida ham farqlanadi va
f
′
(
a
)
=
A
{\displaystyle f'(a)=A}
(yaʼni,
f
′
(
x
)
{\displaystyle f'(x)}
hosilasi
a
{\displaystyle a}
nuqtada uzluksiz).
Buni isbotlash uchun Lopital qoidasini
f
(
x
)
−
f
(
a
)
x
−
a
{\displaystyle {\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}}
nisbatiga qo‘llash kifoya.
Manbalar
uz.wikipedia.org