Leonardo raqami
Leonardo raqamlari takrorlanish orqali berilgan raqamlar ketma-ketligi hisoblanadi:
L
(
n
)
=
{
1
uchun
n
=
0
1
uchun
n
=
1
L
(
n
−
1
)
+
L
(
n
−
2
)
+
1
uchun
n
>
1
{\displaystyle L(n)={\begin{cases}1&{\mbox{uchun }}n=0\\1&{\mbox{uchun }}n=1\\L(n-1)+L(n-2)+1&{\mbox{uchun }}n>1\\\end{cases}}}
Edsger W. Dijkstra ularni silliq tartiblash algoritmining ajralmas qismi sifatida ishlatgan va shuningdek, ularni batafsil tahlil qilganlar.
Leonardo tubi Leonardo soni boʻlib, u ham tub son hisoblanadi.
Qiymatlari
Birinchi bir nechta Leonardo raqamlari quyidagilar:
1, 1, 3, 5, 9, 15, 25, 41, 67, 109, 177, 287, 465, 753, 1219, 1973, 3193, 5167,…
Leonardoning birinchi bir necha asosiy sonlari:
3, 5, 41, 67, 109, 1973, 5167, 2692537, 11405773, 126491971, 331160281, 535828591, 279167724889, 145446920496281, 28944668049352441, 5760134388741632239, 63880869269980199809, 167242286979696845953, 597222253637954133837103, …
Modul sikllari
Leonardo raqamlari har qanday modulda n≥2 sikl hosil qiladi. Uni koʻrishning oson yoʻli quyidagilar:
n≤8 uchun sikllar:
Davr har doim (1,n-1) juftlikda tugaydi, chunki bu juftlikdan (1,1) oldin kelishi mumkin boʻlgan yagona juftlik boʻladi.
Ifodalar
L
(
n
)
=
2
L
(
n
−
1
)
−
L
(
n
−
3
)
{\displaystyle L(n)=2L(n-1)-L(n-3)}
Isbot
L
(
n
)
=
L
(
n
−
1
)
+
L
(
n
−
2
)
+
1
=
L
(
n
−
1
)
+
L
(
n
−
2
)
+
1
+
L
(
n
−
3
)
−
L
(
n
−
3
)
=
2
L
(
n
−
1
)
−
L
(
n
−
3
)
{\displaystyle L(n)=L(n-1)+L(n-2)+1=L(n-1)+L(n-2)+1+L(n-3)-L(n-3)=2L(n-1)-L(n-3)}
Fibonachchi raqamlariga munosabat
Leonardo raqamlari Fibonachchi raqamlari bilan quyidagi munosabatlarga bogʻliq
L
(
n
)
=
2
F
(
n
+
1
)
−
1
,
n
≥
0
{\displaystyle L(n)=2F(n+1)-1,n\geq 0}
.
Bu munosabatdan Leonardo raqamlari uchun Binetning Fibonachchi raqamlari formulasiga oʻxshash yopiq shakldagi ifodani olish juda oson:
L
(
n
)
=
2
φ
n
+
1
−
ψ
n
+
1
φ
−
ψ
−
1
=
2
5
(
φ
n
+
1
−
ψ
n
+
1
)
−
1
=
2
F
(
n
+
1
)
−
1
{\displaystyle L(n)=2{\frac {\varphi ^{n+1}-\psi ^{n+1}}{\varphi -\psi }}-1={\frac {2}{\sqrt {5}}}\left(\varphi ^{n+1}-\psi ^{n+1}\right)-1=2F(n+1)-1}
bu erda oltin nisbat
φ
=
(
1
+
5
)
/
2
{\displaystyle \varphi =\left(1+{\sqrt {5}}\right)/2}
va
ψ
=
(
1
−
5
)
/
2
{\displaystyle \psi =\left(1-{\sqrt {5}}\right)/2}
kvadrat polinomning ildizlari
x
2
−
x
−
1
=
0
{\displaystyle x^{2}-x-1=0}
shunga teng .
Manbalar
Havolalar
Andoza:Classes of natural numbers
uz.wikipedia.org