Korteweg-de Friez tenglamasi

---

Korteweg-de Friz tenglamasi ( KdF tenglamasi  ; shuningdek, de imlo topilgan  Friza , de Friesa , de Frisa , De Fruse  ;inglizcha: Korteweg–de Vries equation) — chiziqli boʻlmagan uchinchi tartibli qisman differentsial tenglama boʻlib, u asosan gidrodinamik kelib chiqadigan chiziqli boʻlmagan toʻlqinlar nazariyasida muhim rol oʻynaydi. U birinchi marta 1877-yilda Jozef Boussinesq tomonidan olingan, ammo batafsil tahlil allaqachon Diederik Korteweg va Gustav de tomonidan amalga oshirilgan edi. Va u 1895-yilda yozadi .

Tenglama quyidagicha koʻrinadi:







∂
u


∂
t



+
6
u



∂
u


∂
x



+




∂

3


u


∂

x

3





=
0


{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+6u{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial ^{3}u}{\partial x^{3}}}=0}

.

Yechimlari

---

Korteweg-de Friez statsionar chiziqli boʻlmagan toʻlqinlar boʻlgan tenglamalar uchun juda koʻp aniq echimlarni topdi. Xususan, bu tenglama quyidagi shakldagi soliton tipidagi yechimlarga ega:




u

(

x
,
t

)

=



2

κ

2





cosh

2


⁡

[

κ

(

x
−
4

κ

2


t
−

x

0



)


]






{\displaystyle u\left(x,t\right)={\frac {2\kappa ^{2}}{\cosh ^{2}\left[\kappa \left(x-4\kappa ^{2}t-x_{0}\right)\right]}}}

,
qayerda



κ


{\displaystyle \kappa }

solitonning balandligi va kengligini, shuningdek uning tezligini aniqlaydigan erkin parametr hisoblanadi;




x

0




{\displaystyle x_{0}}

 — shuningdek, oʻqning kelib chiqishini tanlashga qarab, ixtiyoriy doimiy x sondir. Solitonlar uchun alohida ahamiyatga ega boʻlgan narsa shundaki, har qanday boshlangʻich tebranish eksponent ravishda cheksizgacha bolinadi, vaqt oʻtishi bilan fazoda bir-biridan uzoqlashgan cheklangan solitonlar toʻplamiga aylanadi. Ushbu echimlar uchun aniq qidiruv, teskari tarqalish usuli yordamida muntazam ravishda amalga oshirilishi mumkin.

Korteweg-de Friza tenglamasining davriy yechimlari  elliptik integrallar bilan tavsiflangan кноидальных волн[en] shakliga ega:




x
−
c
t
−

x

0


=
∫


(

2
E
+
c

u

2


−
2

u

3



)


−


1
2




d
u


{\displaystyle x-ct-x_{0}=\int \left(2E+cu^{2}-2u^{3}\right)^{-{\frac {1}{2}}}du}


Bu erda c, E — uning amplitudasi va davrini aniqlaydigan toʻlqin parametrlari hisoblanadi.

Shuningdek, Korteweg-de Friza tenglamasi  oʻziga oʻxshash echimlarni tan oladi va ular umumiy holatda Backlund transformatsiyasi yordamida olinishi mumkin va Painlevé tenglamasining yechimlari bilan ifodalanadi .

Harakatning integrallari va laks tasviri

---

Korteweg-de Friz tenglamasi  aniq echiladigan chiziqli boʻlmagan differentsial tenglamaning eng oddiy misollaridan biri sifatida integral tizimlar nazariyasi uchun juda muhimdir. Integrallik tenglamada cheksiz sonli harakat integrallarining mavjudligi bilan taʼminlanadi, quyidagi shaklga ega.





I

n


=

∫

−
∞


+
∞



P

2
n
−
1


(
u
,


∂

x


u
,


∂

x


2


u
,

…
)


d

x



{\displaystyle I_{n}=\int _{-\infty }^{+\infty }P_{2n-1}(u,\,\partial _{x}u,\,\partial _{x}^{2}u,\,\ldots )\,{\text{d}}x\,}


qayerda




P

n




{\displaystyle P_{n}}

nomaʼlum funktsiyadagi n-darajali koʻphadlar va uning fazoviy hosilalari boʻlib, rekursiv ravishda quyidagicha beriladi:









P

1





=
u
,





P

n





=
−



d

P

n
−
1




d
x



+

∑

i
=
1


n
−
2




P

i




P

n
−
1
−
i


,

n
≥
2.






{\displaystyle {\begin{aligned}P_{1}&=u,\\P_{n}&=-{\frac {dP_{n-1}}{dx}}+\sum _{i=1}^{n-2}\,P_{i}\,P_{n-1-i},\quad n\geq 2.\end{aligned}}}


Ularni Laks tasviri yordamida olish mumkin







d
L


d
t



=
[
P
,
L
]


{\displaystyle {\frac {dL}{dt}}=[P,L]}


bir juft operator orqali shunday koʻrinishhda boʻladi








L



=
−

∂

x


2


+
u
,




P



=
−
4

∂

x


3


+
6
u

∂

x


+
3

u

x


.






{\displaystyle {\begin{aligned}L&=-\partial _{x}^{2}+u,\\P&=-4\partial _{x}^{3}+6u\partial _{x}+3u_{x}.\end{aligned}}}


Bundan tashqari, Korteweg-de Friz tenglamasi ikki Gamilton tuzilishiga ega ekanligini koʻrsatish mumkin.

Harakatning bir nechata birinchi integrallari:

Umumlashtirish

---

Agar tarqalish mavjud boʻlsa, Korteveg — de Friz tenglamasi quyidagi shaklga ega boʻlgan Burgers — Korteveg — de Friz tenglamasiga oʻtadi







∂
u


∂
t



+
6
u



∂
u


∂
x



+




∂

3


u


∂

x

3





=
ν




∂

2


u


∂

x

2







{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+6u{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial ^{3}u}{\partial x^{3}}}=\nu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}}


parametr



ν


{\displaystyle \nu }

tarqalish miqdorini xarakterlaydi.

Ikki oʻlchovli geometriyada Korteweg-de Friz umumlashtirish  bu Kadomtsev-Petviashvili tenglamasi boʻlib, u quyidagi shaklga ega:






∂

∂
x




(




∂
u


∂
t



+
6
u



∂
u


∂
x



+




∂

3


u


∂

x

3






)

=
±




∂

2


u


∂

y

2







{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial u}{\partial t}}+6u{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial ^{3}u}{\partial x^{3}}}\right)=\pm {\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}}

Manbalar

---

Adabiyotlar

---

uz.wikipedia.org