Klassik markaziy kuch masalalarining aniq yechimlari

---

Klassik mexanikaning klassik markaziy kuch muammosida baʼzi potentsial energiya funktsiyalari



V
(
r
)


{\displaystyle V(r)}

trigonometrik funktsiyalar va elliptik funktsiyalar kabi taniqli funktsiyalar bilan ifodalanishi mumkin boʻlgan harakatlar yoki orbitalarni hosil qiladi. Ushbu maqolada ushbu funktsiyalar va orbitalar uchun tegishli yechimlar tasvirlangan.

Umumiy muammo

---

Mayli



r
=
1

/

u


{\displaystyle r=1/u}

boʻlsin. Keyin



u
(
φ
)


{\displaystyle u(\varphi )}

uchun Binet tenglamasi deyarli har qanday



F
(
1

/

u
)


{\displaystyle F(1/u)}

markaziy kuch uchun raqamli hal qilish mumkin. Biroq,



u


{\displaystyle u}

maʼlum funksiyalar nuqtai nazaridan faqat bir nechta kuchlar uchun formulalar paydo boʻladi.



φ


{\displaystyle \varphi }

uchun yechim integral ustida ifodalanishi mumkin:




φ
=

φ

0


+


L

2
m




∫

u





d
u



E


t
o
t



−
V
(
1

/

u
)
−




L

2



u

2




2
m








{\displaystyle \varphi =\varphi _{0}+{\frac {L}{\sqrt {2m}}}\int ^{u}{\frac {du}{\sqrt {E_{\mathrm {tot} }-V(1/u)-{\frac {L^{2}u^{2}}{2m}}}}}}


Agar ushbu integratsiyani maʼlum funksiyalar nuqtai nazaridan hal qilish mumkin boʻlsa, markaziy kuch muammosi „integral“ deb ataladi.

Agar kuch kuch qonuni boʻlsa, yaʼni agar



F
(
r
)
=
a

r

n




{\displaystyle F(r)=ar^{n}}

, keyin



u


{\displaystyle u}

aylana funktsiyalari va/yoki elliptik funksiyalar bilan ifodalanishi mumkin, agar



n


{\displaystyle n}

1, −2, −3 (aylana funksiyalari) va −7, −5, −4, 0, 3, 5, −3/2, −5/2, −1/3, −5/3 va −7/3 ga teng (elliptik funktsiyalar).

Agar kuch teskari kvadratik qonun va chiziqli hadning yigʻindisi boʻlsa, yaʼni agar



F
(
r
)
=


a

r

2




+
c
r


{\displaystyle F(r)={\frac {a}{r^{2}}}+cr}

, muammo Weierstrass elliptik funktsiyalari nuqtai nazaridan ham aniq hal qilinadi.

Manbalar

---

Adabiyotlar

---

uz.wikipedia.org