Hosilaviy funksiyalar (fizika)
Fizikada, aniqrogʻi, Gamilton mexanikasida
generatsiya qiluvchi funksiya erkin maʼnoda qisman hosilalari tizim dinamikasini aniqlaydigan differensial tenglamalarni hosil qiluvchi funksiyadir. Umumiy misollar — statistik mexanikaning boʻlinish funksiyasi, Gamiltonian va kanonik oʻzgarishlarni amalga oshirishda kanonik oʻzgaruvchilarning ikkita toʻplami oʻrtasida koʻprik vazifasini bajaradi.
Kanonik transformatsiyalarda
Quyidagi jadvalda umumlashtirilgan toʻrtta asosiy ishlab chiqaruvchi funksiya mavjud:
Misollar
Baʼzan berilgan Gamiltonian garmonik osilatorga oʻxshab ketadigan Gamiltonianga aylantirilishi mumkin:
H
=
a
P
2
+
b
Q
2
.
{\displaystyle H=aP^{2}+bQ^{2}.}
Masalan, Gamiltonian bilan
H
=
1
2
q
2
+
p
2
q
4
2
,
{\displaystyle H={\frac {1}{2q^{2}}}+{\frac {p^{2}q^{4}}{2}},}
Bu yerda p — umumlashtirilgan impuls va q — umumlashtirilgan koordinata, tanlash uchun yaxshi kanonik transformatsiya boʻladi.
P
=
p
q
2
and
Q
=
−
1
q
.
(
1
)
{\displaystyle P=pq^{2}{\text{ and }}Q={\frac {-1}{q}}.\,(1)}
Bu Gamiltonianni quyidagiga aylantiradi:
H
=
Q
2
2
+
P
2
2
,
{\displaystyle H={\frac {Q^{2}}{2}}+{\frac {P^{2}}{2}},}
Bu garmonik osilator Gamiltonian shaklida boʻladi.
Ushbu transformatsiya uchun F hosil qiluvchi funksiya uchinchi turdagi,
F
=
F
3
(
p
,
Q
)
.
{\displaystyle F=F_{3}(p,Q).}
F ni aniq topish uchun yuqoridagi jadvaldagi hosila uchun tenglamadan foydalaning,
P
=
−
∂
F
3
∂
Q
,
{\displaystyle P=-{\frac {\partial F_{3}}{\partial Q}},}
va (1) tenglamadagi P ifodasini p va Q bilan ifodalangan holda almashtiring:
p
Q
2
=
−
∂
F
3
∂
Q
{\displaystyle {\frac {p}{Q^{2}}}=-{\frac {\partial F_{3}}{\partial Q}}}
Buni Q ga nisbatan integrallash natijasida (1) tenglama bilan berilgan transformatsiyaning hosil qiluvchi funksiyasi tenglamasi olinadi:
F
3
(
p
,
Q
)
=
p
Q
{\displaystyle F_{3}(p,Q)={\frac {p}{Q}}}
Bu toʻgʻri ishlab chiqarish funksiyasi ekanligini tasdiqlash uchun uning (1) mos kelishini tekshiring:
q
=
−
∂
F
3
∂
p
=
−
1
Q
{\displaystyle q=-{\frac {\partial F_{3}}{\partial p}}={\frac {-1}{Q}}}
Manbalar
uz.wikipedia.org