Harakatning doimiyligi
Mexanikada
harakat doimiyligi — bu harakat davomida saqlanib qoladigan, amalda harakatga cheklov qoʻyadigan miqdor . Biroq, bu jismoniy cheklovdan koʻra (qoʻshimcha cheklash kuchlarini talab qiladigan) matematik cheklov, harakat tenglamalarining tabiiy natijasidir. Umumiy misollar orasida energiya, chiziqli momentum, burchak momentum va Laplas-Runge-Lenz vektori (teskari kvadrat kuch qonunlari uchun) mavjud.
Ilovalar
Harakat konstantalari foydalidir, chunki ular harakat tenglamalarini echmasdan harakat xususiyatlarini olish imkonini beradi. Baxtli holatlarda, hatto harakat traektoriyasi ham harakat konstantalariga mos keladigan izo-sirtlarning kesishishi sifatida olinishi mumkin. Masalan, Puinsot konstruktsiyasi shuni koʻrsatadiki, qattiq jismning momentsiz aylanishi shar (umumiy burchak momentumining saqlanishi) va ellipsoidning (energiyaning saqlanishi) kesishishi boʻlib, traektoriyani topish va tasavvur qilish qiyin boʻlishi mumkin. Shuning uchun harakat konstantalarini aniqlash mexanikaning muhim maqsadi hisoblanadi.
Harakat konstantalarini aniqlash usullari
Harakat konstantalarini aniqlashning bir necha usullari mavjud.
0
=
d
A
d
t
=
∂
A
∂
t
+
{
A
,
H
}
,
{\displaystyle 0={\frac {dA}{dt}}={\frac {\partial A}{\partial t}}+\{A,H\},}
bunda, Gamiltonian va A ning Puasson qavsi vaqtga nisbatan hosilasi minusga teng.
∂
A
∂
t
=
−
{
A
,
H
}
.
{\displaystyle {\frac {\partial A}{\partial t}}=-\{A,H\}.}
Yana bir foydali natija
Puasson teoremasi boʻlib, agar ikkita miqdor boʻlsa
A
{\displaystyle A}
va
B
{\displaystyle B}
Harakat konstantalari, ularning Puasson qavslari ham shunday
{
A
,
B
}
{\displaystyle \{A,B\}}
.
Har qanday harakat juftligining Puasson qavslari yoʻqolib qoladigan n erkinlik darajasi va n ta harakat konstantasi boʻlgan tizim toʻliq integrallanuvchi tizim sifatida tanilgan. Harakat konstantalarining bunday yigʻindisi bir-biri bilan involyutsiyada boʻladi, deyiladi. Yopiq tizim uchun (Lagrangian aniq vaqtga bogʻliq emas), tizimning energiyasi harakat doimiysi (saqlangan miqdor)
Kvant mexanikasida
Kuzatiladigan kattalik Q harakatning doimiysi boʻladi, agar u Gamiltonian, H bilan almashtirilsa va uning oʻzi aniq vaqtga bogʻliq boʻlmasa. Buning sababi
d
d
t
⟨
ψ
|
Q
|
ψ
⟩
=
−
1
i
ℏ
⟨
ψ
|
[
H
,
Q
]
|
ψ
⟩
+
⟨
ψ
|
d
Q
d
t
|
ψ
⟩
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle \psi |Q|\psi \rangle =-{\frac {1}{i\hbar }}\left\langle \psi \right|\left[H,Q\right]\left|\psi \right\rangle +\left\langle \psi \right|{\frac {dQ}{dt}}\left|\psi \right\rangle \,}
bu yerda
[
H
,
Q
]
=
H
Q
−
Q
H
{\displaystyle [H,Q]=HQ-QH\,}
kommutator munosabati hisoblanadi.
Chiqarish
Aytaylik, joylashuv, impuls va vaqtga bogʻliq boʻlgan kuzatilishi mumkin boʻlgan Q miqdori,
Q
=
Q
(
x
,
p
,
t
)
{\displaystyle Q=Q(x,p,t)}
Shuningdek, Shredinger tenglamasiga boʻysunadigan toʻlqin funksiyasi mavjudligi
i
ℏ
∂
ψ
∂
t
=
H
ψ
.
{\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=H\psi .}
Q ning kutilgan qiymatining vaqt hosilasini olish mahsulot qoidasidan foydalanishni talab qiladi va natijada
Shunday qilib, nihoyat,
Izoh
Kvant mexanik tizimining ixtiyoriy holati uchun, agar H va Q harakatlansa, yaʼni agar
[
H
,
Q
]
=
0
{\displaystyle \left[H,Q\right]=0}
va Q aniq vaqtga bogʻliq emas
d
d
t
⟨
Q
⟩
=
0
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle Q\rangle =0}
Lekin agar
ψ
{\displaystyle \psi }
Gamiltonianning xos funksiyasi boʻlsa, u holda boʻlsa ham
[
H
,
Q
]
≠
0
{\displaystyle \left[H,Q\right]\neq 0}
hali ham shunday
d
d
t
⟨
Q
⟩
=
0
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle Q\rangle =0}
sharti bilan Q vaqtga bogʻliq emas.
Chiqarish
bunda
keyin
Gamiltonning xos holatlarini statsionar holatlar deb ham atalishining sababi shu.
Kvant xaos uchun dolzarblik
Umuman olganda, integrallashgan tizim energiyadan tashqari harakat doimiylariga ega. Aksincha, energiya integral boʻlmagan tizimda harakatning yagona doimiysi hisoblanadi; bunday tizimlar xaotik deb ataladi. Umuman olganda, klassik mexanik tizimni integrallash mumkin boʻlgan taqdirdagina kvantlash mumkin; 2006 yildan boshlab xaotik dinamik tizimlarni kvantlash uchun maʼlum izchil usul mavjud emas.
Harakatning integrali
Harakatning doimiyligi maʼlum bir kuch maydonida fazo-fazo koordinatalarining (pozitsiya va tezlik yoki pozitsiya va impuls) va traektoriya boʻylab doimiy boʻlgan vaqtning har qanday funktsiyasi sifatida belgilanishi mumkin. Harakat konstantalarining kichik toʻplami
harakatning integrallari yoki
birinchi integrallar boʻlib, ular faqat orbita boʻylab doimiy boʻlgan faza-fazo koordinatalarining har qanday funktsiyalari sifatida aniqlanadi. Har bir harakat integrali harakat doimiysi, lekin buning aksi toʻgʻri emas, chunki harakat doimiysi vaqtga bogʻliq boʻlishi mumkin. Harakat integrallariga misollar burchak momentum vektori,
L
=
x
×
v
{\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {x} \times \mathbf {v} }
, yoki vaqtga bogʻliq boʻlmagan Gamiltonian, masalan
H
(
x
,
v
)
=
1
2
v
2
+
Φ
(
x
)
{\textstyle H(\mathbf {x} ,\mathbf {v} )={\frac {1}{2}}v^{2}+\Phi (\mathbf {x} )}
. Harakat doimiysi boʻlgan, lekin harakatning integrali boʻlmagan funksiyaga misol qilib, funksiya boʻlishi mumkin
C
(
x
,
v
,
t
)
=
x
−
v
t
{\displaystyle C(x,v,t)=x-vt}
bir oʻlchovda doimiy tezlikda harakatlanuvchi ob’ekt uchun.
Dirak kuzatilishlari
Oʻlchov nazariyalaridan jismoniy maʼlumotni olish uchun oʻlchovning oʻzgarmas kuzatilishi mumkin yoki oʻlchagichni tuzatadi. Kanonik tilda bu odatda birinchi toifadagi cheklovlarni yaratuvchi oʻlchagich bilan cheklash yuzasida Puasson-kommutatsiya qiladigan funktsiyalarni qurish yoki har bir oʻlchagich orbitasidagi nuqtalarni ajratib koʻrsatish orqali ikkinchisining oqimini aniqlashni anglatadi. Bunday oʻlchovli oʻzgarmas kuzatiladiganlar, shuning uchun oʻlchov generatorlarining „harakat doimiylari“ boʻlib, Dirac kuzatilishi deb ataladi.
Manbalar
uz.wikipedia.org