Hannay burchagi

---

Klassik mexanikada Hannay burchagi aylanma geometrik fazaning (yoki Berry fazasining) mexanik analogidir. U Buyuk Britaniyaning Bristol universitetidan Jon Hannay sharafiga nomlangan. Xannay birinchi marta 1985 yilda burchakni tasvirlab, yaqinda rasmiylashtirilgan Berry bosqichi gʻoyalarini klassik mexanikaga kengaytirdi.

Klassik mexanikada Hannay burchagi

---

Hannay burchagi harakat-burchak koordinatalari kontekstida aniqlanadi. Dastlab vaqt oʻzgarmaydigan tizimda harakat oʻzgaruvchisi




I

α




{\displaystyle I_{\alpha }}

doimiy hisoblanadi. Vaqti-vaqti bilan bezovtalanishni kiritgandan soʻng



λ
(
t
)


{\displaystyle \lambda (t)}

, harakat oʻzgaruvchisi




I

α




{\displaystyle I_{\alpha }}

adiabatik invariantga aylanadi va Hannay burchagi




θ

α


H




{\displaystyle \theta _{\alpha }^{H}}

uning mos burchak oʻzgaruvchisi uchun buzilish sodir boʻlgan evolyutsiyani ifodalovchi yoʻl integraliga koʻra hisoblanishi mumkin.



λ
(
t
)


{\displaystyle \lambda (t)}

asl qiymatiga qaytadi:

bu yerda




p



{\displaystyle {\boldsymbol {p}}}

va




q



{\displaystyle {\boldsymbol {q}}}

Gamiltonianning kanonik oʻzgaruvchilari .

Misol

---

Fuko mayatnik klassik mexanikaning namunasidir, u baʼzan Berri fazasini tasvirlash uchun ham ishlatiladi. Quyida biz harakat burchagi oʻzgaruvchilari yordamida Fuko mayatnikini oʻrganamiz. Oddiylik uchun biz umumiy protokolda qoʻllaniladigan Gamilton-Jakobi tenglamasidan foydalanmaymiz.

Biz chastotali tekislik mayatnikini koʻrib chiqamiz



ω


{\displaystyle \omega }

burchak tezligi boʻlgan Yerning aylanishi taʼsirida






Ω
→



=
(

Ω

x


,

Ω

y


,

Ω

z


)


{\displaystyle {\vec {\Omega }}=(\Omega _{x},\Omega _{y},\Omega _{z})}

sifatida belgilangan amplituda bilan



Ω
=

|




Ω
→




|



{\displaystyle \Omega =|{\vec {\Omega }}|}

. Mana,



z


{\displaystyle z}

yoʻnalishi Yerning markazidan mayatnikgacha. Mayatnik uchun Lagrangian:

Tegishli harakat tenglamasiKeyin yordamchi oʻzgaruvchini kiritamiz



ϖ
=
x
+
i
y


{\displaystyle \varpi =x+iy}

bu aslida burchak oʻzgaruvchisi. Endi biz uchun tenglama mavjud



ϖ


{\displaystyle \varpi }

 :
Uning xarakteristik tenglamasidanbiz uning xarakterli ildizini olamiz (biz shuni taʼkidlaymiz



Ω
≪
ω


{\displaystyle \Omega \ll \omega }

)Yechim shundan keyinYer bir toʻliq aylanishdan keyin, yaʼni



T
=
2
π

/

Ω
≈
24
h


{\displaystyle T=2\pi /\Omega \approx 24h}

, biz uchun faza oʻzgarishi bor



ϖ


{\displaystyle \varpi }

Birinchi atama mayatnikning dinamik taʼsiriga bogʻliq boʻlib, dinamik faza deb ataladi, ikkinchisi esa Hannay burchagi boʻlgan geometrik fazani ifodalaydi.

Manbalar

---

Havolalar

---

uz.wikipedia.org