Halqa nazaryasi

Halqa nazariyasida mavhum algebraning bir bo'limi, koeffitsient halqasi , farqli halqa yoki qoldiq sinf halqasi sifatida ham yaxshi tanilgan bo'lib, guruh nazariyasidagi bo'lim guruhiga va chiziqli algebradagi bo'linma fazosiga juda o'xshash konstruktsiyalardan biri. U universal algebraning umumiy sozlamasidan ko'rinib turibdiki, bu qismning o'ziga xos namunasi hisoblanadi. R halqasidan va R da ikki tomonlama ideal I dan boshlab, yangi halqa, qism halqasi R / I kelib chiqadi, uning elementlari R dagi I ning kosetlari bo'lib, maxsus + va -operatsiyalariga bog'liq bo'ladi. (Faqat "/" kasr qiyshiq chizig'i bo'lim halqasi belgisida ishlatiladi, gorizontal kasr satri bo'lmaydi. )

Qism halqalari integral sohaning "bo'lim maydoni" yoki kasrlar maydoni deb ataladigan misollardan, shuningdek lokalizatsiya natijasida olingan umumiy "bo'limlar halqalari" dan ham juda katta farq qiladi.

Rasmiy qism halqasining yasalishi

Halqa berilgan

R

{\displaystyle R}

va ikki tomonlama ideal

I

{\displaystyle I}

ichida

R

{\displaystyle R}

, ekvivalentlik munosabatini belgilashimiz ham mumkin bo'ladi

∼

{\displaystyle \sim }

yoqilgan

R

{\displaystyle R}

quyida bayon qilsak bo'ladi:

a
∼
b

{\displaystyle a\sim b}

agar va faqat agar

a
−
b

{\displaystyle a-b}

ichida joylashgan

I

{\displaystyle I}

ga teng.
Ideal xususiyatlardan foydalanib, buni tekshirish qiyin emas

∼

{\displaystyle \sim }

muvofiqlik munosabatidir hisoblanadi. Bo'lgan holatda

a
∼
b

{\displaystyle a\sim b}

, biz shuni aytamiz

a

{\displaystyle a}

va

b

{\displaystyle b}

mos modullardir

I

{\displaystyle I}

hisoblanadi. Elementning ekvivalentlik klassi

a

{\displaystyle a}

ichida

R

{\displaystyle R}

tomonidan beriladi va u quyidagicha bo'ladi

[
a
]
=
a
+
I
:=
{
a
+
r
:
r
∈
I
}

{\displaystyle [a]=a+I:=\{a+r:r\in I\}}

.
Bu ekvivalentlik sinfi ba'zan shunday yoziladi

a

mod

I

{\displaystyle a{\bmod {I}}}

va "qoldiq sinfi" deb ham ataladi

a

{\displaystyle a}

modul

I

{\displaystyle I}

ga teng ".

Bunday barcha ekvivalentlik sinflari to'plami bilan belgilanadi

R

/

I

{\displaystyle R/I}

; u halqaga, faktor halqasiga yoki koeffitsient halqasiga aylanishi ham

R

{\displaystyle R}

modul

I

{\displaystyle I}

, agar biri aniqlasa qolganlari quyidagicha topiladi

(Bu erda ushbu ta'riflar aniq belgilanganligini tekshirish kerak bo'ladi. Koset va quotient guruhini solishtiramiz) ning nol elementi

R

/

I

{\displaystyle R/I}

hisoblanadi va

0
¯

=
(
0
+
I
)
=
I

{\displaystyle {\bar {0}}=(0+I)=I}

multiplikativ o'ziga xoslik

1
¯

=
(
1
+
I
)

{\displaystyle {\bar {1}}=(1+I)}

ga teng bo'ladi .

Xarita

p

{\displaystyle p}

dan

R

{\displaystyle R}

uchun

R

/

I

{\displaystyle R/I}

tomonidan belgilanadi va quyidagi qiymatlarda

p
(
a
)
=
a
+
I

{\displaystyle p(a)=a+I}

suryektiv halqa homomorfizmi hisoblanadi, ba'zan tabiiy qism xaritasi yoki kanonik homomorfizm deb ham ataladi.

Misollar

Murakkab tekisliklarning o'zgarishi

R [X] / (X), R [X] / (X + 1) va R [X] / (X − 1) bo'laklari R uchun izomorf bo'lib ularga quyidagicha avvaliga unchalik qiziqish uyg'otmaydi. Lekin shuni yodda tutingki, geometrik algebrada ikkilik sonlar tekisligi deb ham atalishi mumkin. U R [X] elementini X2 ga qisqartirgandan so'ng "qoldiqlar" sifatida faqat chiziqli yechimlari binomiallardan iborat ham bo'ladi. Murakkab tekislikning bu o'zgarishi algebrada haqiqiy chiziq va nilpotent bo'lganda subalgebra sifatida paydo bo'ladi va quyidagicha bo'lishi ham mumkin.

Bundan tashqari, halqa koeffitsienti R [X] / (X + 1) va R [X] / (X − 1) ga bo'linadi, shuning uchun bu halqa ko'pincha to'g'ridan-to'g'ri ko'rinadi. yig'indisi R ⊕ R Shunga qaramay, z = x + y j kompleks sonlarning o'zgarishini j tomonidan ning ildizi sifatida taklif qilinadi, i esa ning ildizi sifatida. Ajratilgan murakkab sonlarning bu tekisligi algebraning o'ziga xosligi noldan birlik masofada joylashgan 2-fazo uchun asosini ta'minlash orqali R ⊕ R to'g'ridan-to'g'ri yig'indisini normallashtiradi. Shu asosda birlik giperbolani oddiy kompleks tekislikning birlik doirasi bilan solishtirish mumkin.

Kvarternionlar va variatsiyalar

Faraz qilaylik, X va Y ikkita, o'zgarmas, noaniq va erkin algebrasini hosil qiladi. Keyin Gamiltonning 1843 yildagi kvaternionlari sifatida quyish mumkin

R

⟨
X
,
Y
⟩

/

(

X

2

+
1
,

Y

2

+
1
,
X
Y
+
Y
X
)
.

{\displaystyle \mathbf {R} \langle X,Y\rangle /(X^{2}+1,Y^{2}+1,XY+YX).}

Agar o'rniga qo'yilgan bo'lsa, u holda bo'lingan kvaternionlar halqasi olinadi. Anti-kommutativ xususiyat YX = −XY XY o'z kvadratiga ega ekanligini anglatadi

( XY )( XY ) = X ( YX ) Y = − X ( XY ) Y = −( XX )( YY ) = −(−1)(+1) = +1.
Ikkala kvadratik binomida plyus o'rniga minus qo'yish ham bo'linish ham kvaternionlariga olib kelishi mumkin.

Uchta turdagi biquaternionlarni erkin algebra yordamida uchta noaniq R ⟨X,Y,Z ⟩ bilan va tegishli ideallarni yaratish orqali ham bo'laklar sifatida yozishimiz mumkin bo'ladi.

Xususiyatlari

Shubhasiz, agar R kommutativ halqa bo'lsa, R / I ham shunday bo'ladi; ammo teskari umuman olganda, to'g'ri kelmaydi.

Tabiiy bo'lim xaritasi p o'zining yadrosi sifatida I ga ega hisoblanadi; har bir halqa gomomorfizmining yadrosi ikki tomonlama ideal bo'lganligi uchun, ikki tomonlama ideallar aynan halqa gomomorfizmlarining yadrosi ekanligini aytishimiz ham mumkin.

Halqa gomomorfizmlari, yadrolari va qism halqalari o'rtasidagi yaqin munosabatni quyidagicha umumlashtirish mumkin bo'ladi: R / I da aniqlangan halqa gomomorfizmlari I da yo'qolib ketadigan (ya'ni nolga teng bo'ladigan) R da aniqlangan halqa gomomorfizmlari bilan mohiyatan bir xildir bo'ladi. Aniqroq aytganda, R da ikki tomonlama ideal I va halqali omomorfizm f : R → S berilgan bo'lib f : R → S yadrosida I bo'lsa, aniq bitta halqali gomomorfizmi g : R / I → S mavjuddir.g : R / I → S gp = f bilan (bu erda p - tabiiy ko'rsatkichlar xaritasi). Bu yerda g xaritasi R dagi barcha a uchun aniq belgilangan g([a]) = f(a) qoidasi bilan berilgan. Haqiqatan ham, bu universal xususiyatdan bo'linish halqalari va ularning tabiiy bo'lim xaritalarini aniqlash uchun foydalanish mumkin bo'ladi.

Yuqorida aytilganlarning natijasi bo'laroq, asosiy bayonot olinadi va har bir halqa gomomorfizmi f : R → S qism halqasi R / ker(f) va tasvir im( f ) oʻrtasida halqa izomorfizmini keltirib chiqarishi mumkin. (Shuningdek qarang: gomomorfizmlar haqidagi asosiy teorema . )

R va R / I ideallari bir-biri bilan chambarchas bog'liq hisoblanadi va tabiiy koeffitsientlar xaritasi I ni o'z ichiga olgan R ning ikki tomonlama ideallari va R / I ning ikki tomonlama ideallari o'rtasidagi farqni ta'minlaydi (chap va o'ng uchun ham xuddi shunday ideallar mavjud). Ikki tomonlama ideal o'rtasidagi bu munosabat mos keladigan bo'laadiqism halqalari orasidagi munosabatga taalluqlidir hisoblanadi: agar M R dagi ikki tomonlama ideal bo'lsa, I ni o'z ichiga oladi va biz quyidagi R / I da mos keladigan ideal uchun M / I yozamiz (ya'ni. M / I = p(M) ), qism halqalari R / M va (R / I) / (M / I) tabiiy ravishda (yaxshi belgilangan hisoblanadi!) a + M ↦ (a + I) + M / I xaritalash orqali izomorfdir bo'ladi. a + M ↦ (a + I) + M / I

Quyidagi faktlar kommutativ algebra va algebraik geometriyada foydalidir kommutativ uchun R / I maydon, agar I maksimal ideal bo'lsa, R / I esa integral sohadir bo'ladi, agar I bo'lsa asosiy ideal bo'ladi. Bir qator shunga o'xshash bayonotlar ideal I ning xossalari R / I halqasining xususiyatlari bilan bog'liq hisoblanadi.

Xitoy qoldiqlari teoremasi shuni ko'rsatadiki, agar ideal I juftlik ko'paytma ideallarning biror bir kesishishi (yoki ekvivalenti, mahsuloti) bo'lsa, I , . . ., I k, keyin R / I qism halqasi ham R / In, n = 1, ..., k ko'paytmasiga izomorf hisoblanadi bo'ladi.

Halqa ustidagi algebralar uchun qoidalar

Kommutativ halqa ustidagi assotsiativ algebra A R - bu uzuk hisoblanadi. Agar men ideal bo'lsam A ( R -ko'paytirish ostida yopiq bo'ladi), keyin A / I algebra tuzilishini qabul qilib oladi. R va qism algebrasi .