Geometrik o'rtacha teorema
Toʻgʻri burchakli uchburchak balandlik teoremasi yoki
oʻrtacha geometrik teorema toʻgʻri burchakli uchburchakdagi gipotenuzaning balandligi va u gipotenuzada yaratgan ikkita chiziq segmenti oʻrtasidagi munosabatni tavsiflovchi elementar geometriya natijasi boʻladi. Unda aytilishicha, ikkita segmentning geometrik oʻrtacha qiymati balandlikka teng boʻladi.
Teorema va ilovalar
Agar h toʻgʻri burchakli uchburchakdagi balandlikni va p va q gipotenuzadagi segmentlarni bildirsa, teorema quyidagicha ifodalanishi mumkin:
h
=
p
q
{\displaystyle h={\sqrt {pq}}}
yoki kvadratlari boʻyicha:
h
2
=
p
q
.
{\displaystyle h^{2}=pq.}
Toʻrtburchakni oʻlchagich va sirkul yordamida kvadratga oshirish usulini beradi, yaʼni berilgan toʻrtburchakning maydoniga teng kvadratiga teng boʻladi. Tomonlari p va q boʻlgan bunday toʻrtburchak uchun uning yuqori chap uchini D bilan belgilaymiz. Endi biz q segmentini chap tomonga p ga choʻzamiz (markazi D ga yoʻnaltirilgan AE yoyi yordamida) va uning diametri sifatida yangi p+q segmenti bilan A va B soʻnggi nuqtalari boʻlgan yarim doira chizamiz. Keyin D dagi diametrga perpendikulyar chiziqni C dagi yarim doira kesib oʻtamiz. Thales teoremasi tufayli C va diametri toʻgʻri burchakli uchburchakni tashkil qiladi, uning balandligi DC chiziq segmenti bilan, shuning uchun DC toʻrtburchakning maydoni boʻlgan kvadratning tomoni boʻladi. Usul shuningdek, kvadrat ildizlarni qurishga imkon beradi (konstruksiya qilinadigan raqamga qarang), chunki kengligi 1 ga teng boʻlgan toʻrtburchakdan boshlanadi, qurilgan kvadrat toʻrtburchak uzunligining kvadrat ildiziga teng boʻlgan tomon uzunligiga teng boʻladi.
Boshqa ilovasi ikkita raqam holatida AM-GM tengsizligining geometrik isbotini beradi. P va q raqamlari uchun diametri p+q boʻlgan yarim doira quriladi. Endi balandlik geometrik oʻrtachani va radius ikki raqamning oʻrtacha arifmetik qiymatini ifodalaydi. Balandlik har doim radiusdan kichikroq yoki teng boʻlganligi sababli, bu tengsizlikni keltirib chiqaradi.
Teoremani aylana uchun kesishuvchi akkordlar teoremasining maxsus holati sifatida ham koʻrib chiqish mumkin, chunki Thales teoremasining teskarisi toʻgʻri burchakli uchburchakning gipotenuzasi uning aylana diametriga teng boʻladi.
Qarama-qarshi teorema ham haqiqatdir. Balandligi u tomonidan yaratilgan ikkita chiziq segmentining geometrik oʻrtachasiga teng boʻlgan har qanday uchburchak toʻgʻri burchakli uchburchak hisoblanadi.
Tarixi
Teorema odatda Evklidga (taxminan miloddan avvalgi 360-280-yillar) tegishli boʻlib, u buni oʻzining " Elementlar " ning VI kitobidagi 8-mulohazaning natijasi sifatida bayon qilgan. II kitobning 14-taklifida Evklid toʻrtburchakni kvadratga solish usulini beradi, bu asosan bu erda keltirilgan usulga mos keladi. Biroq, Evklid oʻrtacha geometrik teoremaga tayanishdan koʻra, qurilishning toʻgʻriligi uchun biroz murakkabroq isbotni ham taqdim etadi.
Isbot
Oʻxshashlik asosida
Teoremaning isboti :
Uchburchaklar
△
A
D
C
{\displaystyle \triangle ADC}
va
△
B
C
D
{\displaystyle \triangle BCD}
oʻxshash, chunki:
Shunday qilib, ikkala uchburchak ham
△
A
C
D
{\displaystyle \triangle ACD}
va
△
B
C
D
{\displaystyle \triangle BCD}
ga oʻxshaydi
△
A
B
C
{\displaystyle \triangle ABC}
va ular, yaʼni
△
A
C
D
∼
△
A
B
C
∼
△
B
C
D
{\displaystyle \triangle ACD\sim \triangle ABC\sim \triangle BCD}
.
Oʻxshashlik tufayli biz quyidagi nisbatlar tengligini olamiz va uning algebraik qayta tashkil etilish teoremasini beradi:
h
p
=
q
h
⇔
h
2
=
p
q
⇔
h
=
p
q
(
h
,
p
,
q
>
0
)
{\displaystyle {\frac {h}{p}}={\frac {q}{h}}\,\Leftrightarrow \,h^{2}=pq\,\Leftrightarrow \,h={\sqrt {pq}}\qquad (h,p,q>0)}
Suhbatning isboti: Teskari uchun bizda uchburchak bor
△
A
B
C
{\displaystyle \triangle ABC}
qaysi ichida
h
2
=
p
q
{\displaystyle h^{2}=pq}
tutadi va C dagi burchak toʻgʻri burchak ekanligini koʻrsatishi kerak. Shu tufayli
h
2
=
p
q
{\displaystyle h^{2}=pq}
bizda bor
h
p
=
q
h
{\displaystyle {\tfrac {h}{p}}={\tfrac {q}{h}}}
. Bilan birga
∠
A
D
C
=
∠
C
D
B
{\displaystyle \angle ADC=\angle CDB}
uchburchaklar
△
A
D
C
{\displaystyle \triangle ADC}
va
△
B
D
C
{\displaystyle \triangle BDC}
teng oʻlchamdagi burchakka ega va bir xil nisbatda mos keladigan juft oyoqlarga ega. Bu shuni anglatadiki, uchburchaklar oʻxshash boʻlib, natija beradi:
∠
A
C
B
=
∠
A
C
D
+
∠
D
C
B
=
∠
A
C
D
+
(
90
∘
−
∠
D
B
C
)
=
∠
A
C
D
+
(
90
∘
−
∠
A
C
D
)
=
90
∘
{\displaystyle \angle ACB=\angle ACD+\angle DCB=\angle ACD+(90^{\circ }-\angle DBC)=\angle ACD+(90^{\circ }-\angle ACD)=90^{\circ }}
Pifagor teoremasi asosida
Geometrik oʻrtacha teoremani oʻrnatishda uchta toʻgʻri burchakli uchburchak mavjud
△
A
B
C
{\displaystyle \triangle ABC}
,
△
A
D
C
{\displaystyle \triangle ADC}
va
△
D
B
C
{\displaystyle \triangle DBC}
, bunda Pifagor teoremasi quyidagicha natijalarni beradi:
h
2
=
a
2
−
q
2
{\displaystyle h^{2}=a^{2}-q^{2}}
,
h
2
=
b
2
−
p
2
{\displaystyle h^{2}=b^{2}-p^{2}}
va
c
2
=
a
2
+
b
2
{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}}
Birinchi ikkita tenglamani qoʻshib, uchinchisini qoʻllash quyidagilarga olib keladi:
2
h
2
=
a
2
+
b
2
−
p
2
−
q
2
=
c
2
−
p
2
−
q
2
=
(
p
+
q
)
2
−
p
2
−
q
2
=
2
p
q
{\displaystyle 2h^{2}=a^{2}+b^{2}-p^{2}-q^{2}=c^{2}-p^{2}-q^{2}=(p+q)^{2}-p^{2}-q^{2}=2pq}
.
Ikkiga boʻlinish natijasida geometrik oʻrtacha teorema formulasi paydo boʻladi:
Dissektsiya va qayta tartibga solishga asoslangan
Toʻgʻri burchakli uchburchakni h balandligi boʻylab kesib tashlasak, ikkita oʻxshash uchburchak hosil boʻladi, ularni ikki muqobil usulda kattalashtirish va tomonlari p+h va q+h uzunliklariga perpendikulyar boʻlgan kattaroq toʻgʻri burchakli uchburchak shaklida joylashtirish mumkin boʻladi. Bunday tartiblardan biri uni bajarish uchun h 2 maydonning kvadratini, ikkinchisi pq maydonining toʻrtburchaklarini talab qiladi. Ikkala tartib ham bir xil uchburchakni berganligi sababli, kvadrat va toʻrtburchakning maydonlari bir xil boʻlishi kerak.
Kesish xaritalariga asoslangan
Balandlik kvadratini uchta qirqim xaritasi yordamida p va q tomonlari boʻlgan teng maydonli toʻrtburchakka aylantirish mumkin (qirqish xaritalari maydonni saqlaydi) boʻladi:
Manbalar
Havolalar
uz.wikipedia.org