Garmonik elektromagnit to'lqin
Garmonik elektromagnit toʻlqin — yassi elektromagnit to'lqinning xususiy holi boʻlib, fanda muhim ahamiyat kasb etadi.
Maʼlumki, vektor-potensial ifodasi quyidagi koʻrinishga ega:
A
=
A
(
t
−
z
c
)
;
(
1
)
{\displaystyle {\textbf {A}}={\textbf {A}}\left(t-{\frac {z}{c}}\right);\ \ \ \ \ \ (1)}
Bu ifodadagi vektor-potensialni
t
−
z
c
{\displaystyle t-{\frac {z}{c}}}
argumentning oddiy davriy funksiyasi, yaʼni garmonik funksiyasi deb hisoblansa, quyidagicha yozish mumkin boʻladi:
A
=
A
0
e
i
ω
(
t
−
z
c
)
;
(
2
)
{\displaystyle {\textbf {A}}={\textbf {A}}_{0}e^{i\omega (t-{\frac {z}{c}})};\ \ \ \ \ \ (2)}
bu yerda
A
0
{\displaystyle {\textbf {A}}_{0}}
— oʻzgarmas kompleks vektor boʻlib, toʻlqin tebranishining amplitudasi,
ω
{\displaystyle \omega }
— toʻlqin tebranishining siklik chastotasi deyiladi. Toʻlqin tarqalish yoʻnalishi z koordinata oʻqi boʻyicha boʻlmasa, u vaqtda
z
=
(
r
n
)
;
(
3
)
{\displaystyle z=({\textbf {r}}\ {\textbf {n}});\ \ \ \ \ \ (3)}
bu yerda
r toʻlqin tekisligi nuqtasining radius-vektoridir,
n toʻlqin tarqalish yoʻnalishini aniqlovchi ortdir. Maʼlumki,
i
ω
(
t
−
z
c
)
=
i
ω
[
t
−
1
c
(
rn
)
]
=
i
[
ω
t
−
ω
c
(
rn
)
]
;
(
4
)
{\displaystyle i\omega \left(t-{\frac {z}{c}}\right)=i\omega \left[t-{\frac {1}{c}}({\textbf {rn}})\right]=i\left[\omega t-{\frac {\omega }{c}}({\textbf {rn}})\right];\ \ \ \ \ \ (4)}
Toʻlqin soni
Quyidagi taʼrif orqali yangi
k vektor kiritish mumkin:
k
=
ω
c
n
;
(
5
)
{\displaystyle {\textbf {k}}={\frac {\omega }{c}}{\textbf {n}};\ \ \ \ \ \ (5)}
U vaqtda
i
ω
(
t
−
z
c
)
=
i
[
(
ω
t
−
kr
)
]
{\displaystyle i\omega \left(t-{\frac {z}{c}}\right)=i\left[(\omega t-{\textbf {kr}})\right]}
, demak,
A
=
A
0
e
i
[
ω
t
−
(
k
r
)
]
;
(
6
)
{\displaystyle {\textbf {A}}={\textbf {A}}_{0}e^{i[\omega t-(kr)]};\ \ \ \ \ \ (6)}
Maʼlumki, koʻrsatkichli funksiya
e
i
β
{\displaystyle e^{i\beta }}
ning qiymati
β
{\displaystyle \beta }
funksiya har
2
π
{\displaystyle 2\pi }
ga oʻzgarishi bilan yana takrorlanadi. Masalan,
e
i
ω
(
t
+
T
)
=
e
i
(
ω
t
+
2
π
)
{\displaystyle e^{i\omega (t+T)}=e^{i(\omega t+2\pi )}}
demak,
ω
=
2
π
T
;
(
7
)
{\displaystyle \omega ={\frac {2\pi }{T}};\ \ \ \ \ \ (7)}
bu yerda
T
{\displaystyle T}
— toʻlqin tebranishining davri,
ν
=
1
T
{\displaystyle \nu ={\frac {1}{T}}}
toʻlqin tebranishining chastotasi deyiladi. Xuddi shuningdek,
e
−
i
ω
c
[
(
r
n
)
+
λ
]
=
e
−
i
[
ω
c
(
r
n
)
+
2
π
]
{\displaystyle e^{-i{\frac {\omega }{c}}[(rn)+\lambda ]}=e^{-i\left[{\frac {\omega }{c}}(rn)+2\pi \right]}}
, demak,
ω
c
λ
=
2
π
{\displaystyle {\frac {\omega }{c}}\lambda =2\pi }
yoki
λ
=
2
π
c
ω
;
(
8
)
{\displaystyle \lambda ={\frac {2\pi c}{\omega }};\ \ \ \ \ \ (8)}
bu yerda
λ
{\displaystyle \lambda }
— toʻlqin uzunligi deyiladi. Shuni nazarda tutib, (5) ga muvofiq yozish mumkin:
k
=
2
π
λ
n
;
(
9
)
{\displaystyle {\textbf {k}}={\frac {2\pi }{\lambda }}{\textbf {n}};\ \ \ \ \ \ \ (9)}
Yuqorida taʼriflangan
k vektor toʻlqin vektori deb ataladi. Koʻrinib turibdiki, uning yoʻnalishi toʻlqin tarqalishi yoʻnalishidir, son qiymati esa
k
=
2
π
λ
{\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}}
, yaʼni
2
π
{\displaystyle 2\pi }
sm uzunlikda joylashgan toʻlqinlar soniga teng. Shuning uchun k kattalik toʻlqin soni deyiladi.
Garmonik elektromagnit toʻlqin kuchlanganliklari
Garmonik elektromagnit toʻlqinlar uchun elektr maydon kuchlanganligi ifodasini quyidagicha yozish mumkin:
E
=
−
1
c
∂
A
∂
t
=
−
1
c
A
i
ω
=
−
i
ω
c
A
0
e
i
[
ω
t
−
(
kr
)
]
{\displaystyle {\textbf {E}}=-{\frac {1}{c}}{\dfrac {\partial {\textbf {A}}}{\partial t}}=-{\frac {1}{c}}{\textbf {A}}i\omega =-i{\frac {\omega }{c}}{\textbf {A}}_{0}e^{i[\omega t-({\textbf {kr}})]}}
yoki
E
=
E
0
e
i
[
ω
t
−
(
kr
)
]
;
(
10
)
{\displaystyle {\textbf {E}}={\textbf {E}}_{0}e^{i[\omega t-({\textbf {kr}})]};\ \ \ \ \ \ (10)}
boʻladi. Bu yerda
E
0
{\displaystyle E_{0}}
— oʻzgarmas kompleks vektor. Shuningdek,
H
=
H
0
e
i
[
ω
t
−
(
kr
)
]
;
(
11
)
{\displaystyle {\textbf {H}}={\textbf {H}}_{0}e^{i[\omega t-({\textbf {kr}})]};\ \ \ \ \ \ (11)}
Magnit maydon va elektr maydon har doim bir-biriga simmetrik ekanligini yoddan chiqarmaslik zarur!
Garmonik toʻlqin kuchlanganliklarining oʻzgarishi
Dastlab, (10) formuladagi kvadrat qavs ichida turgan ifodani
ψ
{\displaystyle \psi }
orqali
ψ
=
ω
t
−
(
kr
)
;
(
12
)
{\displaystyle \psi =\omega t-({\textbf {kr}});\ \ \ \ \ \ (12)}
belgilab, soʻngra
E
0
{\displaystyle {\textbf {E}}_{0}}
kompleks vektorni ikkita haqiqiy
a
1
{\displaystyle {\textbf {a}}_{1}}
va kompleks
a
2
{\displaystyle {\textbf {a}}_{2}}
vektorlar orqali ifodalash lozim:
E
0
=
a
1
+
i
a
2
{\displaystyle {\textbf {E}}_{0}={\textbf {a}}_{1}+i{\textbf {a}}_{2}}
.
U vaqtda (10) ga muvofiq,
E
=
(
a
1
+
i
a
2
)
e
i
ψ
=
(
a
1
+
i
a
2
)
(
cos
ψ
+
i
sin
ψ
)
=
a
1
cos
ψ
−
a
2
sin
ψ
+
i
(
a
1
sin
ψ
+
a
2
cos
ψ
)
{\displaystyle {\textbf {E}}=({\textbf {a}}_{1}+i{\textbf {a}}_{2})e^{i\psi }=({\textbf {a}}_{1}+i{\textbf {a}}_{2})(\cos \psi +i\sin \psi )={\textbf {a}}_{1}\cos \psi -{\textbf {a}}_{2}\sin \psi +i({\textbf {a}}_{1}\sin \psi +{\textbf {a}}_{2}\cos \psi )}
yoki haqiqiy qismini ajratib yozilsa,
E
=
a
1
cos
ψ
−
a
2
sin
ψ
;
(
13
)
{\displaystyle {\textbf {E}}={\textbf {a}}_{1}\cos \psi -{\textbf {a}}_{2}\sin \psi ;\ \ \ \ \ \ (13)}
Ikkita oʻzaro perendikulyar boʻlgan haqiqiy
E va
E vektorlar berilgan boʻlsin. Yaʼni,
(
E
1
E
2
)
=
0
;
(
14
)
{\displaystyle ({\textbf {E}}_{1}{\textbf {E}}_{2})=0;\ \ \ \ \ \ (14)}
Ularni
a va
a vektorlar boʻyicha quyidagi koʻrinishda ajratish mumkin:
E
1
=
a
1
cos
γ
+
a
2
sin
γ
;
(
15
)
{\displaystyle {\textbf {E}}_{1}={\textbf {a}}_{1}\cos \gamma +{\textbf {a}}_{2}\sin \gamma ;\ \ \ \ \ \ (15)}
E
2
=
a
1
sin
γ
−
a
2
cos
γ
;
(
16
)
{\displaystyle {\textbf {E}}_{2}={\textbf {a}}_{1}\sin \gamma -{\textbf {a}}_{2}\cos \gamma ;\ \ \ \ \ \ (16)}
bu yerda
γ
{\displaystyle \gamma }
burchak hozircha nomaʼlum.
Soʻnggi formulalardan koʻrinib turibdiki,
a
1
=
E
1
cos
γ
+
E
2
sin
γ
,
a
2
=
E
1
sin
γ
−
E
2
cos
γ
{\displaystyle {\textbf {a}}_{1}={\textbf {E}}_{1}\cos \gamma +{\textbf {E}}_{2}\sin \gamma ,\ {\textbf {a}}_{2}={\textbf {E}}_{1}\sin \gamma -{\textbf {E}}_{2}\cos \gamma }
.
Shularga asosan, (13)-formuladan
E
=
E
1
cos
(
ψ
+
γ
)
+
E
2
sin
(
ψ
+
γ
)
;
(
17
)
{\displaystyle {\textbf {E}}={\textbf {E}}_{1}\cos(\psi +\gamma )+{\textbf {E}}_{2}\sin(\psi +\gamma );\ \ \ \ \ \ (17)}
(14)-formulaga muvofiq esa
(
E
1
E
2
)
=
a
1
2
cos
γ
sin
γ
−
(
a
1
a
2
)
cos
2
γ
+
(
a
1
a
2
)
sin
2
γ
−
a
2
2
sin
γ
cos
γ
=
(
a
1
2
−
a
2
2
)
sin
γ
cos
γ
+
(
a
1
a
2
)
(
sin
2
γ
−
cos
2
γ
)
⇒
{\displaystyle ({\textbf {E}}_{1}{\textbf {E}}_{2})=a_{1}^{2}\cos \gamma \sin \gamma -({\textbf {a}}_{1}{\textbf {a}}_{2})\cos ^{2}\gamma +({\textbf {a}}_{1}{\textbf {a}}_{2})\sin ^{2}\gamma -a_{2}^{2}\sin \gamma \cos \gamma =(a_{1}^{2}-a_{2}^{2})\sin \gamma \cos \gamma +({\textbf {a}}_{1}{\textbf {a}}_{2})(\sin ^{2}\gamma -\cos ^{2}\gamma )\Rightarrow }
⇒
(
a
1
2
−
a
2
2
)
sin
2
γ
2
−
(
a
1
a
2
)
cos
2
γ
=
0
{\displaystyle \Rightarrow (a_{1}^{2}-a_{2}^{2}){\frac {\sin 2\gamma }{2}}-({\textbf {a}}_{1}{\textbf {a}}_{2})\cos 2\gamma =0}
bu yerdan
tg
2
γ
=
2
(
a
1
a
2
)
a
1
2
−
a
2
2
;
(
18
)
{\displaystyle {\textrm {tg}}2\gamma ={\frac {2({\textbf {a}}_{1}{\textbf {a}}_{2})}{a_{1}^{2}-a_{2}^{2}}};\ \ \ \ \ \ \ (18)}
Toʻlqinning tarqalish yoʻnalishi
z koordinata oʻqi yoʻnalishi bilan bir xil edi. Demak,
E
1
{\displaystyle {\textbf {E}}_{1}}
va
E
2
{\displaystyle {\textbf {E}}_{2}}
vektorlar XOY tekisligida yotadilar.
E
1
{\displaystyle {\textbf {E}}_{1}}
vektor yoʻnalishini x koordinata yoʻnalishi desak,
E
2
{\displaystyle {\textbf {E}}_{2}}
vektor y koordinata oʻqiga yo parallel, yoki antiparallel boʻlishi mumkin. Shunday qilib,
E
x
=
E
1
cos
(
ψ
+
γ
)
;
(
19
)
{\displaystyle E_{x}=E_{1}\cos(\psi +\gamma );\ \ \ \ \ \ \ (19)}
E
y
=
±
E
2
sin
(
ψ
+
γ
)
;
(
20
)
{\displaystyle E_{y}=\pm E_{2}\sin(\psi +\gamma );\ \ \ \ \ \ \ (20)}
bu yerda
ψ
+
γ
{\displaystyle \psi +\gamma }
— toʻlqinning fazasi,
E
1
{\displaystyle E_{1}}
va
E
2
{\displaystyle E_{2}}
esa amplitudalari deyiladi.
Kuchlanganlik vektorining maʼlum nuqtada vaqtga qarab yuqoridagi qonun boʻyicha oʻzgarishi toʻlqinning qutblanishi va bunday toʻlqin qutblangan to'lqin deyiladi.
Qutblanish turlari
Yuqoridagi berilgan tenglamalarni bir xil ishorali tebranishlar uchun quyidagicha yozish mumkin:
E
x
=
E
1
cos
(
ψ
+
γ
)
;
(
21
)
{\displaystyle E_{x}=E_{1}\cos(\psi +\gamma );\ \ \ \ \ \ \ (21)}
E
y
=
E
2
sin
(
ψ
+
γ
)
=
E
2
cos
(
ψ
+
γ
−
π
2
)
;
(
22
)
{\displaystyle E_{y}=E_{2}\sin(\psi +\gamma )=E_{2}\cos \left(\psi +\gamma -{\frac {\pi }{2}}\right);\ \ \ \ \ \ (22)}
Qarama-qarshi ishorali tebranishlar uchun esa:
E
x
=
E
1
cos
(
ψ
+
γ
)
;
(
23
)
{\displaystyle E_{x}=E_{1}\cos(\psi +\gamma );\ \ \ \ \ \ \ (23)}
E
y
=
−
E
2
sin
(
ψ
+
γ
)
=
E
2
cos
(
ψ
+
γ
−
3
π
2
)
;
(
24
)
{\displaystyle E_{y}=-E_{2}\sin(\psi +\gamma )=E_{2}\cos \left(\psi +\gamma -{\frac {3\pi }{2}}\right);\ \ \ \ \ \ (24)}
(19)-formulani
E
1
{\displaystyle E_{1}}
ga hamda (20)-formulani
E
2
{\displaystyle E_{2}}
ga koʻpaytirilsa, undan soʻng tengliklarning chap va oʻng tomonlarini kvadratga koʻtarib, yigʻindisi hisoblansa,
E
x
2
E
1
2
+
E
y
2
E
2
2
=
1
{\displaystyle {\frac {E_{x}^{2}}{E_{1}^{2}}}+{\frac {E_{y}^{2}}{E_{2}^{2}}}=1}
boʻladi. Bu formula esa ellipsni ifodalaydi.
Koʻrinib turibdiki, elektr maydon kuchlanganligi vektorining oxiri fazoning har bir aniq oʻzgarmas nuqtasida toʻlqin tarqalishiga perpendikulyar tekislikdagi ellips boʻylab aylanadi. Bunday toʻlqin elliptik qutblangan to'lqin deyiladi.
Vaqt va fazoda
E vektorning oʻzgarishini shunday tasavvur qilish mumkin:
E vektorning oxiri toʻlqin tarqalishi yoʻnalishi atrofida oʻralgan spiral boʻylab aylanadi.
E vektor oxirining qaysi tomonga aylanishi (20)-formuladagi musbat yoki manfiy ishoraga bogʻliq. Toʻlqinning tarqalish yoʻnalishiga qarab turuvchiga nisbatan
E vektorning oxiri soat strelkasining yurishi boʻyicha aylansa (yuqoridagi musbat ishoraga mos), yaʼni (21) bilan (22) ga binoan, toʻlqin musbat spirallikka ega deyiladi. Agar toʻlqinning tarqalish yoʻnalishiga qarab turuvchiga nisbatan
E vektorning oxiri soat strelkasining yurishiga qarama-qarshi aylansa (yuqoridagi manfiy ishoraga mos), yaʼni (23) bilan (24) ga asosan, toʻlqin manfiy spirallikka ega deyiladi.
Agar
E
1
=
E
2
{\displaystyle E_{1}=E_{2}}
boʻlsa, ellips doira shaklini oladi, toʻlqin esa doiraviy qutblanishga ega boʻladi.
Agar
E
1
=
0
{\displaystyle E_{1}=0}
yoki
E
2
=
0
{\displaystyle E_{2}=0}
boʻlsa, toʻlqin chiziqli qutblanishga ega boʻladi (rasmga qarang).
Chiziqli qutblanishga ega yassi elektromagnit toʻlqinning elektr maydon kuchlanganlik vektori, quyidagicha ifodalanadi:
E
=
E
0
e
i
[
ω
t
−
(
kr
)
]
;
(
25
)
{\displaystyle {\textbf {E}}={\textbf {E}}_{0}e^{i[\omega t-({\textbf {kr}})]};\ \ \ \ \ \ (25)}
va xuddiy shuningdek, bu toʻlqinning magnit maydon kuchlanganligi vektori
H
=
H
0
e
i
[
ω
t
−
(
kr
)
]
;
(
26
)
{\displaystyle {\textbf {H}}={\textbf {H}}_{0}e^{i[\omega t-({\textbf {kr}})]};\ \ \ \ \ \ (26)}
boʻladi. Bu yerda
E
0
,
H
0
{\displaystyle {\textbf {E}}_{0},\ {\textbf {H}}_{0}}
— oʻzgarmas haqiqiy vektorlar.
Tarixiy anʼanalarga muvofiq, magnit maydon kuchlanganligi vektorining yoʻnalishi qutblanish yoʻnalishi deyiladi. Shuningdek, magnit maydon kuchlanganligi vektori bilan toʻlqinning tarqalish yoʻnalishi yotgan tekislik qutblanish tekisligi deb yuritiladi.
Yana qarang
Adabiyotlar
uz.wikipedia.org