Gamma-funksiya

---

Gamma-funksiya  — matematik funksiya, belgilanishi



Γ
(
z
)


{\displaystyle \Gamma (z)}

. Leonard Eiler tomonidan kiritilgan.

Gamma-funksiya fanda juda keng qoʻllaniladigan funksiya hisoblanadi. Uning qoʻllanilish sohalari — matematik tahlil, ehtimollar nazariyasi, komninatorika, statistika, atom fizikasi, astrofizika, gidrodinamika, seysmologiya, iqtisodiyot va boshqalar.

Xususan, gamma-funksiya argumentning haqiqiy va murakkab qiymatlari toʻplamlarida faktorial tushunchasini umumlashtirish uchun ishlatiladi.

Taʼrifi

---

Integral boʻyicha

---

Agar



z


{\displaystyle z}

kompleks sonning haqiqiy qismi musbat boʻlsa, u holda gamma-funksiya absolyut yaqinlashuvchi integral nuqtai nazaridan aniqlanadi:




Γ
(
z
)
=

∫

0


∞




t


z
−
1



e

−
t



d
t
,

z
∈

C

,


R
e

(
z
)
>
0


{\displaystyle \Gamma (z)=\int \limits _{0}^{\infty }\!t^{\,z-1}e^{-t}\,dt,\quad z\in \mathbb {C} ,\quad \mathrm {Re} (z)>0}


Legendre tomonidan kiritilgan ushbu taʼrif, Eiler tomonidan 1730-yilda gamma-funksiyaga berilgan taʼrifdan kelib chiqqan, deyishimiz mumkin:




Γ
(
z
)
=

∫

0


1


(
−
ln
⁡

x


)

z
−
1



d
x


{\displaystyle \Gamma (z)=\int \limits _{0}^{1}(-\ln {x})^{z-1}\,dx}





x
=

e

−
t




{\displaystyle x=e^{-t}}

oʻzgaruvchi kiritilgani tufayli, hozirgi kunda aynan Legendre taʼrifi — gamma-funksiyaning klassik taʼrifi deb tan olinadi. Ushbu integralni boʻlaklarga boʻlib integrallasak,



Γ
(
z
+
1
)
=
z
Γ
(
z
)


{\displaystyle \Gamma (z+1)=z\Gamma (z)}

ekanligini koʻrishmiz mumkin.

Manbalar

---

uz.wikipedia.org