Sun'iy intellekt javobi:

Eng kichik kvadratlar usuli (EKK usuli) — bu statistik va matematik analizda ma'lum bir ma’lumotlar to‘plamiga eng mos chiziqli yoki boshqa funksiyani topishda qo‘llaniladigan usuldir. Ushbu usul yordamida ma’lumotlar nuqtalarining haqiqiy qiymatlari va matematik model yordamida hisoblangan qiymatlarining farqlari kvadratlari yig‘indisi minimallashtiriladi. Shunday qilib, topilgan funksiya yoki chiziq ma’lumotlarga eng yaqin bo‘ladi.

EKK usulining mohiyati

Masalan, bizda ma’lum nuqtalar to‘plami bo‘lsin: ((x_1, y_1), (x_2, y_2), ..., (x_n, y_n)). Bu nuqtalarni chiziqli chiziq (yoki boshqa turdagi funksiya) bilan ifodalashni xohlaymiz. Masalan, chiziqli bog‘lanish bo‘lsa:

[ y = ax + b ]

lkm (a) va (b) koeffitsiyentlarini topamiz. Har bir nuqtaning haqiqiy (y_i) qiymati va taxminiy qiymat (a x_i + b) orasidagi farq — bu qoldiq:

[ \varepsilon_i = y_i - (a x_i + b) ]

EKK usulida ushbu qoldiqlarning kvadratlarni yig‘indisi minimal bo‘lishi kerak:

[ S = \sum_{i=1}^n \varepsiloni^2 = \sum{i=1}^n (y_i - a x_i - b)^2 \to \min ]

EKK usulini qo‘llash tartibi

1. Modelni belgilash: Masalan, chiziqli model (y = ax + b).

2. Qoldiqlar ta'rifi: Har bir observatsiya uchun haqiqiy va taxminiy qiymatlarning farqini hisoblash.

3. Kvadratlar yig‘indisini tuzish: Barcha qoldiqlar kvadratlarini yig‘ish.

4. Minimallashtirish shartlarini yozish: (S(a,b)) ning (a) va (b) ga nisbatan hosilalarini hisoblash va ularni nolga tenglashtirish:

[ \frac{\partial S}{\partial a} = 0, \quad \frac{\partial S}{\partial b} = 0 ]

5. Hosilalar tenglamalar yechish: Hosilalardan chiqadigan ikki tenglama yordamida (a) va (b) qiymatlarini topish.

EKK usulining qulayliklari

• Ma’lumotlarni chiziqli yoki no chiziqli regressiya yordamida modellashtirish imkonini beradi.
• Hisoblash algoritmlari sodda va samarali.
• Olingan natija ma’lumotlarga eng yaqin bo‘lgan prognoz qiymatlarni beradi.
• Statistik tahlilni va modelni baholashni osonlashtiradi.

Misol

Faraz qilaylik, berilgan ma’lumotlar:

Chiziqli model (y = ax + b) uchun (a) va (b) ni hisoblaymiz:

[ S = \sum_{i=1}^5 (y_i - a x_i - b)^2 \to \min ]

Hosilalarni nolga tenglab, ya’ni quyidagi sistema yechiladi:

[ \begin{cases} -2 \sum (y_i - a x_i - b) x_i = 0 \ -2 \sum (y_i - a x_i - b) = 0 \end{cases} ]

Bu yerda yig‘indilarni hisoblaymiz:

[ \sum x_i = 1+2+3+4+5 = 15, \quad \sum y_i = 2+3+5+4+6=20 ] [ \sum x_i^2 = 1+4+9+16+25=55, \quad \sum x_i y_i = 21 + 32 + 53 + 44 + 6*5 = 2 + 6 + 15 + 16 + 30=69 ]

Hosilalar tenglamalari:

[ \begin{cases} a \sum x_i^2 + b \sum x_i = \sum x_i y_i \ a \sum x_i + 5b = \sum y_i \end{cases} ]

[ \begin{cases} 55a + 15b = 69 \ 15a + 5b = 20 \end{cases} ]

Ikkinchi tenglamani 3 ga ko‘paytiramiz:

[ 45a + 15b = 60 ]

Birinchi tenglamadan undan ayiramiz:

[ (55a + 15b) - (45a + 15b) = 69 - 60 \implies 10a = 9 \implies a = 0.9 ]

Ikkinchi tenglamadan:

[ 15*0.9 + 5b = 20 \implies 13.5 + 5b = 20 \implies 5b = 6.5 \implies b = 1.3 ]

Shunday qilib, eng kichik kvadratlar usuliga ko‘ra eng mos chiziqli model:

[ y = 0.9x + 1.3 ]

Xulosa

Eng kichik kvadratlar usuli — statistik tahlil va modellashtirishda keng qo‘llaniladigan, o‘lchov xatolari yoki tabiatdagi shovqinlarni hisobga olib, parametrlarni baholashning samarali usulidir. Bu usul orqali ma’lumotlarga eng yaqin prognozlar tuziladi va ekstrapolyatsiya qilishga imkon beriladi.