Elementar funksiyalar
Elementar funksiyalar — koʻphadlar, ratsional, koʻrsatkichli, darajali, logarifmik, trigonometrik, teskari trigonometrik funksiyalar, shuningdek, bu funksiyalardan toʻrt arifmetik amal va chekli marta qoʻllanilgan superpozitsiyalar yordamida hosil qilinadigan funksiyalarni oʻz ichiga olgan funksiyalar sinfi.
Elementar funksiyalar sinfi yaxshi oʻrganilgan va u amaliy mat.da koʻp qoʻllanadi. Elementar funksiyalar ning hosilasi hamisha Elementar funksiyalar boʻladi, lekin Elementar funksiyalardan olingan integral Elementar funksiyalar boʻlmasligi ham mumkin.
Butun ratsional funksiyalar
Ushbu
koʼrinishdagi funksiya butun ratsional funksiya deyiladi. Bunda
a
0
,
a
1
,
.
.
.
,
a
n
{\displaystyle a_{0},a_{1},...,a_{n}}
- oʻzgarmas sonlar,
n
∈
N
{\displaystyle n\in N}
. Bu funksiya
R
=
(
−
∞
,
+
∞
)
{\displaystyle R=(-\infty ,+\infty )}
da aniqlangan.
Butun ratsional funksiyaning baʻzi xususiy hollari:
Chiziqli funksiya
Bu funksiya
y
=
a
x
+
b
{\displaystyle y=ax+b}
(
a
≠
0
)
{\displaystyle (a\neq 0)}
koʻrinishga ega, bunda a, b, c - oʻzgarmas sonlar.
Chiziqli funksiya
(
−
∞
,
+
∞
)
{\displaystyle (-\infty ,+\infty )}
da aiqlangan
a
>
0
{\displaystyle a>0}
boʻlganda oʻsuvchi,
a
<
0
{\displaystyle a<0}
boʻlganda kamayuvchi: grafigi tekislikdagi toʻgʻri chiziqdan iborat.
Kvadrat funksiya
Bu funksiya
y
=
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}
(
a
≠
0
)
{\displaystyle (a\neq 0)}
koʻrinishga ega, bunda a, b, c - oʻzgarmas sonlar.
Kvadrat funktsiya R da aniqlangan boʼlib, uning grafigi parabolani ifodalaydi.
Ravshanki
y
=
a
x
2
+
b
x
+
c
=
a
(
x
+
b
2
a
)
−
b
2
−
4
a
c
4
a
{\displaystyle y=ax^{2}+bx+c=a{\Bigl (}x+{\frac {b}{2a}}{\Bigr )}-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}}
Kasr ratsional funksiyalar
Ushbu
y
=
a
0
+
a
1
x
+
a
2
x
2
+
.
.
.
+
a
n
x
n
b
0
+
b
1
x
+
b
2
x
2
+
.
.
.
+
b
m
x
m
{\displaystyle y={\frac {a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{n}x^{n}}{b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2}+...+b_{m}x^{m}}}}
koʻrinishdagi funksiya kasr ratsional funksiya deyiladi. Bunda
a
0
,
a
1
,
.
.
.
,
a
n
{\displaystyle a_{0},a_{1},...,a_{n}}
va
b
0
,
b
1
,
.
.
.
,
b
m
{\displaystyle b_{0},b_{1},...,b_{m}}
lar oʻzgarmas sonlar
n
∈
N
{\displaystyle n\in N}
,
m
∈
N
{\displaystyle m\in N}
. Bu funksiya
X
=
(
−
∞
,
+
∞
)
{
x
∣
b
0
+
b
1
x
+
.
.
.
+
b
m
x
m
=
0
{\displaystyle X=(-\infty ,+\infty )\ \{x\mid b_{0}+b_{1}x+...+b_{m}x^{m}=0}
toʻplamda aniqlangan.
Kasr ratsional funksiyaning baʻzi xususiy hollari:
Teskari proporsional bogʻlanish
U
y
=
a
x
{\displaystyle y={\frac {a}{x}}}
(
x
≠
0
{\displaystyle x\neq 0}
a
=
c
o
n
s
t
{\displaystyle a=const}
) koʻrinishga ega.
Kasr chiziqli funksiya
U ushbu
y
=
a
x
+
b
c
x
+
d
{\displaystyle y={\frac {ax+b}{cx+d}}}
korinishga ega. Bu funksiya
X
=
R
∖
{
−
d
c
}
{\displaystyle X=R\backslash \{-{\frac {d}{c}}\}}
(
c
≠
0
)
{\displaystyle (c\neq 0)}
toʻplamda aniqlangan:
Ravshanki,
y
=
a
x
+
b
c
x
+
d
=
b
c
−
a
d
c
2
∗
1
x
+
d
c
+
a
c
{\displaystyle y={\frac {ax+b}{cx+d}}={\frac {bc-ad}{c^{2}}}*{\frac {1}{x+{\frac {d}{c}}}}+{\frac {a}{c}}}
. Demak,
y
=
a
x
+
β
+
γ
{\displaystyle y={\frac {a}{x+\beta }}+\gamma }
,
(
a
=
b
c
−
a
d
c
2
,
β
=
d
c
,
γ
=
a
c
)
{\displaystyle {\Bigr (}a={\frac {bc-ad}{c^{2}}},\beta ={\frac {d}{c}},\gamma ={\frac {a}{c}}{\Bigr )}}
. Uning grafigini
y
=
a
x
{\displaystyle y={\frac {a}{x}}}
funksiya grafigi yordamida chizish mumkin.
Darajali funksiya
Ushbu
y
=
x
a
{\displaystyle y=x^{a}}
,
(
x
≥
0
)
{\displaystyle (x\geq 0)}
koʻrinishdagi funksiya darajali funksiya deyiladi.
Bu funksiyaning aniqlanish toʻplami
a
{\displaystyle a}
ga bogʻliq. Darajali funksiya
a
>
0
{\displaystyle a>0}
, boʻlganda
(
0
,
+
∞
)
{\displaystyle (0,+\infty )}
da oʻsuvchi,
a
<
0
{\displaystyle a<0}
boʻlganda kamayuvchi boʻladi.
y
=
x
a
{\displaystyle y=x^{a}}
funksiya grafigi tekislikning (0,0) va (1,1) nuqtalardan oʻtadi.
Koʻrsatkichli funksiya
Ushbu
y
=
a
x
{\displaystyle y=a^{x}}
koʻrinishdagi funksiya koʻrsatkichli funksiya deyiladi. Bunda
a
∈
R
{\displaystyle a\in R}
,
a
>
0
{\displaystyle a>0}
,
a
≠
1
{\displaystyle a\neq 1}
. Koʻrsatkichli funksiya
(
−
∞
,
+
∞
)
{\displaystyle (-\infty ,+\infty )}
aniqlangan,
∀
x
∈
R
{\displaystyle \forall x\in R}
da
a
x
>
0
{\displaystyle a^{x}>0}
;
a
>
0
{\displaystyle a>0}
boʻlganda oʻsuvchi;
0
<
a
<
1
{\displaystyle 0<a<1}
boʻlganda kamayuvchi boʻladi.
Xususan,
a
=
e
{\displaystyle a=e}
boʻlsa, matematikada muhim roʻl oʻynaydigan
y
=
e
x
{\displaystyle y=e^{x}}
funksiya hosil bovladi.
Koʻrsatkichli funksiyaning grafigi
O
x
{\displaystyle Ox}
oʻqidan yuqoridan joylashgan va tekislikning (0,1) nuqtasidan oʻtadi.
Logarifimik funksiya
Ushbu
y
=
log
a
x
{\displaystyle y=\log _{a}x}
koʻrinishdagi funksiya logarifmik funksiya deyiladi. Bunda
a
>
0
{\displaystyle a>0}
,
a
≠
1
{\displaystyle a\neq 1}
.
Logarifimlik funksiya
(
0
,
+
∞
)
{\displaystyle (0,+\infty )}
da aniqlangan,
y
=
a
x
{\displaystyle y=a^{x}}
funksiyaga nisbatan teskari;
a
>
1
{\displaystyle a>1}
boʻlganda oʻsuvchi,
0
<
a
<
1
{\displaystyle 0<a<1}
boʻlganda kamayuvchi boʻlad.
Logarifmik funksiyaning grafigi
O
y
{\displaystyle Oy}
oʻqining oʻng tomonida joylashgan va tekislikning (0,1) nuqtasidan oʻtadi.
Trigonometrik funksiyalar
Ushbu
y
=
sin
x
{\displaystyle y=\sin x}
,
y
=
cos
x
{\displaystyle y=\cos x}
,
y
=
t
g
x
{\displaystyle y=tgx}
,
y
=
c
t
g
x
{\displaystyle y=ctgx}
,
y
=
s
e
c
x
{\displaystyle y=secx}
,
y
=
c
o
s
e
c
x
{\displaystyle y=cosecx}
funksiyalar trigonometrik funksiyalar deyiladi.
y
=
sin
x
{\displaystyle y=\sin x}
,
y
=
cos
x
{\displaystyle y=\cos x}
funksiyalar
R
=
(
−
∞
,
+
∞
)
{\displaystyle R=(-\infty ,+\infty )}
da aniqlangan,
2
π
{\displaystyle 2\pi }
davrli funksiyalar
∀
x
∈
R
{\displaystyle \forall x\in R}
da
−
1
≤
s
i
n
x
≤
1
{\displaystyle -1\leq sinx\leq 1}
,
−
1
≤
c
o
s
x
≤
1
{\displaystyle -1\leq cosx\leq 1}
boʻladi. Ushbu
y
=
t
g
x
{\displaystyle y=tgx}
funksiya
X
=
R
∖
{
x
∈
R
|
x
=
(
2
k
+
1
)
π
2
;
k
=
0
,
±
1
,
±
2
,
.
.
.
}
{\displaystyle X=R\backslash \{x\in R|x=(2k+1){\frac {\pi }{2}};k=0,\pm 1,\pm 2,...\}}
toʻplamda aniqlangan
π
{\displaystyle \pi }
davrli funksiya
c
t
g
x
{\displaystyle ctgx}
,
s
e
c
x
{\displaystyle secx}
,
c
o
s
e
c
x
{\displaystyle cosecx}
funksiyalar
s
i
n
x
{\displaystyle sinx}
,
c
o
s
x
{\displaystyle cosx}
,
t
g
x
{\displaystyle tgx}
lar orqali quyidagicha ifodalaydi:
c
t
g
x
=
1
t
g
x
,
s
e
c
x
=
1
c
o
s
x
,
c
o
s
e
c
x
=
1
s
i
n
x
{\displaystyle ctgx={\frac {1}{tgx}},secx={\frac {1}{cosx}},cosecx={\frac {1}{sinx}}}
.
Giperbolik funksiyalar
Koʻrsatkichli
y
=
e
x
{\displaystyle y=e^{x}}
funksiya yordamida tuzilgan ushbu
e
x
−
e
−
x
2
,
e
x
+
e
−
x
2
,
e
x
−
e
−
x
e
x
+
e
−
x
,
e
x
+
e
−
x
e
x
−
e
−
x
{\displaystyle {\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}},{\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}},{\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}},{\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}}
funksiyalar giperbolik (mos ravishda giperbolik sinus, giperbolik kosinus, giperbolik tangens, giperbolik katangens) funksiyalar deyiladi va ular quyidagicha
s
h
x
=
e
x
−
e
−
x
2
,
c
h
x
=
e
x
+
e
−
x
2
,
t
h
x
=
e
x
−
e
−
x
e
x
+
e
−
x
,
c
t
h
x
=
e
x
+
e
−
x
e
x
−
e
−
x
{\displaystyle shx={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}},chx={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}},thx={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}},cthx={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}}
belgilanadi.
Teskari trigonometrik funksiyalar
Maʻlumki,
y
=
s
i
n
x
{\displaystyle y=sinx}
funksiya R da aniqlangan va uning qiymatlari toʻplami
Y
f
=
[
−
1
,
1
]
{\displaystyle Y_{f}=[-1,1]}
boʻladi.
Agar
x
∈
(
−
π
2
)
(
π
2
)
{\displaystyle x\in \left(-{\frac {\pi }{2}}\right)\left({\frac {\pi }{2}}\right)}
boʻlsa, u holda
X
=
(
−
π
2
)
(
π
2
)
{\displaystyle X=\left(-{\frac {\pi }{2}}\right)\left({\frac {\pi }{2}}\right)}
va
Y
f
=
[
−
1
,
1
]
{\displaystyle Y_{f}=[-1,1]}
toʻlamlarining elementlari oʻzaro bir qiymatli moslikda boʻladi.
y
=
s
i
n
x
{\displaystyle y=sinx}
funksiyaga nisbatan teskari funksiya
y
=
a
r
c
s
i
n
x
{\displaystyle y=arcsinx}
kabi belgilanadi
Shunga oʻxshash
y
=
c
o
s
x
,
y
=
t
g
x
,
y
=
c
t
g
x
{\displaystyle y=cosx,y=tgx,y=ctgx}
funksiyalarga nisbatan ts=ekari funksiya mos ravishda
y
=
a
r
c
c
o
s
x
,
y
=
a
r
c
t
g
x
,
y
=
a
r
c
c
t
g
x
{\displaystyle y=arccosx,y=arctgx,y=arcctgx}
, kabi belgilanadi.
Ushbu
y
=
a
r
c
s
i
n
x
,
y
=
a
r
c
c
o
s
x
,
y
=
a
r
c
t
g
x
,
y
=
a
r
c
c
t
g
x
{\displaystyle y=arcsinx,y=arccosx,y=arctgx,y=arcctgx}
funksiyalar teskari trigonometrik deyiladi.
Manbalar
uz.wikipedia.org