Elektromagnit impuls oqimining zichlik tenzori
Elektromagnit kuchlar zichligi
Elektromagnit maydon va zaryadlangan zarralar sistemasining umumiy impuls oʻzgarishi qonuni quyidagicha ifodalanadi:
d
d
t
(
G
m
+
G
s
)
=
∮
T
n
d
σ
;
(
1
)
{\displaystyle {\dfrac {d}{dt}}\left({\textbf {G}}_{m}+{\textbf {G}}_{s}\right)=\oint {\textbf {T}}_{n}d\sigma ;\ \ \ \ \ (1)}
bu yerda:
T
n
=
(
T
x
n
)
i
+
(
T
y
n
)
j
+
(
T
z
n
)
k
;
(
2
)
{\displaystyle {\textbf {T}}_{n}=({\textbf {T}}_{x}{\textbf {n}}){\textbf {i}}+({\textbf {T}}_{y}{\textbf {n}}){\textbf {j}}+({\textbf {T}}_{z}{\textbf {n}}){\textbf {k}};\ \ \ \ \ (2)}
boʻlib, normal orti
n boʻlgan birlik yuzachaga taʼsir qiluvchi elektromagnit maydon kuchini ifodalaydi va sirtga taʼsir qiluvchi elektromagnit kuchlar zichligi deyiladi. Normalning yoʻnalishiga qarab
Tn vektor ham turlicha boʻlishi mumkin. Normalning orti
n sifatida, masalan, Ox oʻqining orti
i olinsa, koʻramizki,
Tx vektor shu oʻqqa perpendikulyar qoʻyilgan birlik yuzachaga taʼsir qiluvchi maydon kuchini ifodalaydi. Shuning kabi
Ty va
Tz vektorlar Oy va Oz oʻqlariga mos ravishda perpendikulyar boʻlgan birlik yuzachalarga taʼsir qiluvchi maydon kuchlarini ifodalaydi.
Elektromagnit kuchlar zichligi vektorining tashkil etuvchilari
Sirtga taʼsir qiluvchi elektromagnit kuchlar zichligi
Tn vektorning aniqlanishi uchun (2) ga muvofiq
Tx ,
Ty ,
Tz vektorlar maʼlum boʻlishi lozim: bu vektorlarning tashkil etuvchilarini quyidagicha yozamiz:
T
x
x
=
1
4
π
(
E
x
2
+
H
x
2
)
−
1
8
π
(
E
2
+
H
2
)
,
{\displaystyle T_{xx}={\frac {1}{4\pi }}\left(E_{x}^{2}+H_{x}^{2}\right)-{\frac {1}{8\pi }}\left(E^{2}+H^{2}\right),}
T
x
y
=
1
4
π
(
E
x
E
y
+
H
x
H
y
)
,
{\displaystyle T_{xy}={\frac {1}{4\pi }}\left(E_{x}E_{y}+H_{x}H_{y}\right),}
T
x
z
=
1
4
π
(
E
x
E
z
+
H
x
H
z
)
,
{\displaystyle T_{xz}={\frac {1}{4\pi }}\left(E_{x}E_{z}+H_{x}H_{z}\right),}
T
y
x
=
1
4
π
(
E
y
E
x
+
H
y
H
x
)
,
{\displaystyle T_{yx}={\frac {1}{4\pi }}\left(E_{y}E_{x}+H_{y}H_{x}\right),}
T
y
y
=
1
4
π
(
E
y
2
+
H
y
2
)
−
1
8
π
(
E
2
+
H
2
)
,
{\displaystyle T_{yy}={\frac {1}{4\pi }}\left(E_{y}^{2}+H_{y}^{2}\right)-{\frac {1}{8\pi }}\left(E^{2}+H^{2}\right),}
T
y
z
=
1
4
π
(
E
y
E
z
+
H
y
H
z
)
,
{\displaystyle T_{yz}={\frac {1}{4\pi }}\left(E_{y}E_{z}+H_{y}H_{z}\right),}
T
z
x
=
1
4
π
(
E
z
E
x
+
H
z
H
x
)
,
{\displaystyle T_{zx}={\frac {1}{4\pi }}\left(E_{z}E_{x}+H_{z}H_{x}\right),}
T
z
y
=
1
4
π
(
E
z
E
y
+
H
z
H
y
)
,
{\displaystyle T_{zy}={\frac {1}{4\pi }}\left(E_{z}E_{y}+H_{z}H_{y}\right),}
T
z
z
=
1
4
π
(
E
z
2
+
H
z
2
)
−
1
8
π
(
E
2
+
H
2
)
;
(
3
)
{\displaystyle T_{zz}={\frac {1}{4\pi }}\left(E_{z}^{2}+H_{z}^{2}\right)-{\frac {1}{8\pi }}\left(E^{2}+H^{2}\right);\ \ \ \ \ (3)}
;
Agar
x
1
=
x
,
x
2
=
y
,
x
3
=
z
{\displaystyle x_{1}=x,x_{2}=y,x_{3}=z}
desak, koordinatalarning umumiy koʻrinishi
x
α
{\displaystyle x_{\alpha }}
boʻladi, bu yerda
α
{\displaystyle \alpha }
indeks 1, 2, 3,
…
{\displaystyle \ldots }
qiymatlarni qabul qiladi. U vaqtda (3) ifodani quyidagi koʻrinishda yozib koʻrsatish mumkin:
T
α
β
=
1
4
π
(
E
α
E
β
+
H
α
H
β
)
−
δ
α
β
1
8
π
(
E
2
+
H
2
)
;
(
4
)
{\displaystyle T_{\alpha \beta }={\frac {1}{4\pi }}\left(E_{\alpha }E_{\beta }+H_{\alpha }H_{\beta }\right)-\delta _{\alpha \beta }{\frac {1}{8\pi }}\left(E^{2}+H^{2}\right);\ \ \ \ \ (4)}
bu yerda
α
,
β
{\displaystyle \alpha ,\beta }
indekslar 1, 2, 3 qiymatlarga ega boʻlib,
δ
α
β
{\displaystyle \delta _{\alpha \beta }}
esa Kroneker belgisi deyiladi va quyidagicha taʼriflanadi:
δ
α
β
=
{
0
,
agar
α
≠
β
1
,
agar
α
=
β
;
(
5
)
{\displaystyle \delta _{\alpha \beta }={\begin{cases}0,\ {\textrm {agar}}\ \alpha \neq \beta \\1,\ {\textrm {agar}}\ \alpha =\beta \end{cases}};\ \ \ \ \ (5)}
(4) — tenglamadan maʼlumki,
T
α
β
=
T
β
α
;
(
6
)
{\displaystyle T_{\alpha \beta }=T_{\beta \alpha };\ \ \ \ \ (6)}
Normal orti
n bilan ixtiyoriy i
β
{\displaystyle _{\beta }}
orasidagi burchak kosinusini
C
n
β
{\displaystyle C_{n\beta }}
orqali belgilasak:
C
n
β
=
cos
(
n
∧
i
β
)
=
(
n
i
β
)
(
7
)
{\displaystyle C_{n\beta }=\cos({\textbf {n}}^{\wedge }{\textbf {i}}_{\beta })=\left({\textbf {n}}\ {\textbf {i}}_{\beta }\right)\ \ \ \ \ (7)}
u holda
n
=
∑
C
n
β
i
β
;
(
8
)
{\displaystyle {\textbf {n}}=\sum C_{n\beta }{\textbf {i}}_{\beta };\ \ \ \ \ (8)}
Endi bizni qiziqtirayotgan
Tn vektor uchun berilgan (2) ifodani kiritilgan belgilashlar asosida yozamiz:
T
n
=
∑
(
T
α
n
)
i
β
{\displaystyle {\textbf {T}}_{n}=\sum \left({\textbf {T}}_{\alpha }\ {\textbf {n}}\right){\textbf {i}}_{\beta }}
yoki (8) ga muvofiq
T
n
=
∑
∑
C
n
β
(
T
α
i
β
)
i
α
{\displaystyle {\textbf {T}}_{n}=\sum \sum C_{n\beta }\left({\textbf {T}}_{\alpha }{\textbf {i}}_{\beta }\right){\textbf {i}}_{\alpha }}
Skalyar koʻpaytma
(
T
α
i
β
)
{\displaystyle ({\textbf {T}}_{\alpha }{\textbf {i}}_{\beta })}
esa
T
α
{\displaystyle {\textbf {T}}_{\alpha }}
vektorning
i
β
{\displaystyle i_{\beta }}
ort yoʻnalishidagi
T
α
β
{\displaystyle {\textbf {T}}_{\alpha \beta }}
tashkil etuvchisidir. Demak,
T
n
=
∑
∑
C
n
β
T
α
β
i
α
{\displaystyle {\textbf {T}}_{n}=\sum \sum C_{n\beta }{\textbf {T}}_{\alpha \beta }{\textbf {i}}_{\alpha }}
yoki (6) ga muvofiq,
T
n
=
∑
∑
C
n
β
T
β
α
i
α
;
(
9
)
{\displaystyle {\textbf {T}}_{n}=\sum \sum C_{n\beta }{\textbf {T}}_{\beta \alpha }{\textbf {i}}_{\alpha };\ \ \ \ \ (9)}
Berilgan
i
β
{\displaystyle {\textbf {i}}_{\beta }}
ortlar sistemasini koordinatalar boshi atrofida aylantirish natijasida kelib chiqqan yangi sistema ortlarini
i
l
′
{\displaystyle {\textbf {i}}'_{l}}
orqali belgilaylik, bu yerda
l
=
1
,
2
,
3
{\displaystyle l=1,2,3}
. Normal orti
n ixtiyoriy boʻlganligidan,
n oʻrniga
i'l olinishi mumkin. U vaqtda (9) ga muvofiq,
T
l
′
=
∑
∑
C
l
β
T
β
α
i
α
{\displaystyle {\textbf {T}}'_{l}=\sum \sum C_{l\beta }{\textbf {T}}_{\beta \alpha }{\textbf {i}}_{\alpha }}
Bu tenglikning ikki tomonini
i'm (
m
=
1
,
2
,
3
,
…
{\displaystyle m=1,2,3,\ldots }
) ortga skalyar ravishda koʻpaytirilsa,
T
l
m
′
∑
∑
C
l
β
C
m
α
T
β
α
{\displaystyle T'_{lm}\sum \sum C_{l\beta }C_{m\alpha }{\textbf {T}}_{\beta \alpha }}
yokki
α
{\displaystyle \alpha }
va
β
{\displaystyle \beta }
oʻrinlarini almashtirilsa,
T
l
m
′
∑
∑
C
l
α
C
m
β
T
α
β
;
(
10
)
{\displaystyle T'_{lm}\sum \sum C_{l\alpha }C_{m\beta }{\textbf {T}}_{\alpha \beta };\ \ \ \ \ \ (10)}
Mana shu almashtirish qonuniga boʻysungan
T
α
β
{\displaystyle T_{\alpha \beta }}
miqdorlar toʻplami ikkinchi rangli tenzor deyiladi. (4) da ifodalangan toʻqqizta
T
α
β
{\displaystyle T_{\alpha \beta }}
miqdorlar toʻplami
elektromagnit impuls oqimi zichligining tenzori deb yuritiladi.
Yana qarang
Adabiyotlar
uz.wikipedia.org