Sun'iy intellekt javobi:

Doiraviy funksiyalar — bu matematikada, ayniqsa trigonometriya va analitik geometriya sohasida keng qo‘llaniladigan funksiyalar bo‘lib, ular burchaklar bilan bog‘liq o‘zgaruvchilar orqali ifodalanadi. Doiraviy funksiyalar atamasi asosan aylana (doira) bilan bog‘liq trigonometrik funksiyalarni ifodalaydi.

Doiraviy Funksiyalarning Tavsifi

Doiraviy funksiyalar aylana radiusi bo‘ylab joylashgan nuqtaning burchak argumentiga bog‘liq bo‘lgan funksiya hisoblanadi. Ular trigonometrik funksiyalar sifatida ifodalanadi, ya’ni sinus, kosinus va tangens kabi funksiyalar.

Masalan, birlik aylana koordinatalarida nuqtaning koordinatalari:

• ( x = \cos \theta )
• ( y = \sin \theta )

bu yerda (\theta) — burchak (radialarda o‘lchanadi), ya’ni doiraning markazidan o‘tkazilgan radius va ma’lum bir aylananing boshlang‘ich nuqtasi orasidagi burchak.

Asosiy doiraviy funksiyalar

1. Sinus (sin)
   Sinus funktsiyasi burchakga mos keluvchi doira radiusining vertikal ordinatasi (y-koordinatasi) ni beradi.
   Matematik ifoda:
   [ \sin \theta = \frac{\text{qarama-qarshi tomon}}{\text{gipotenuza}} ]

2. Kosinus (cos)
   Kosinus funktsiyasi radiusning gorizontal abscissa (x-koordinatasi) ni ifodalaydi.
   Matematik ifoda:
   [ \cos \theta = \frac{\text{katet yon tomon}}{\text{gipotenuza}} ]

3. Tangens (tan)
   Tangens sinus va kosinus nisbatidir:
   [ \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} ]

4. Kotangens (cot)
   Kotangens tangensning teskari funktsiyasi:
   [ \cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} ]

Doiraviy funksiyalarning xususiyatlari

• Davriyligi:
  Doiraviy funksiyalarning qiymatlari burchakning 360° (yoki (2\pi) radianda) aylanishdan keyin takrorlanadi.
  Masalan, (\sin(\theta + 2\pi) = \sin \theta).

• Qiymatlar oralig‘i:
  Sinus va kosinus uchun qiymatlar ([-1,1]) oraliqda bo‘ladi.

• Grafik ko‘rinishi:
  Sinus va kosinus grafiklari doiraviy harakatni ifodalab, to‘lqinli (garmonik) shaklga ega.

Doiraviy funksiyalarni qo‘llash sohalari

• Fizika: To‘lqinlar, tebranishlar, mexanik harakatlarning modellashtirilishi.
• Elektronika: Signal shakllari, sinusoidal tebranishlar.
• Muhandislik: Aylanma va tebranish jarayonlarining tahlili.
• Matematika: Trigonometriya, analitik geometriya, differensial tenglamalar.

Xulosa

Doiraviy funksiyalar — bu matematikada va tabiiy fanlarda aylanma harakatlar va burchaklarga bog‘liq vaziyatlarni tahlil qilishda murakkab bo‘lgan jarayonlarni soddalashtirish uchun juda muhim va zarur bo‘lgan funksiyalardir. Ular yordamida aylananing har bir burchagiga mos keluvchi qiymatlar aniqlanadi va turli ilmiy masalalarni yechishda asos bo‘lib xizmat qiladi.