Braun dinamikasi




Fizikada Brown dinamikasi diffuz rejimda molekulyar tizimlarning dinamikasini tavsiflash uchun matematik yondashuvdir. Bu Langevin dinamikasining soddalashtirilgan versiyasi boʻlib, oʻrtacha tezlashuv sodir boʻlmagan chegaraga mos keladi. Ushbu yaqinlashish, shuningdek, haddan tashqari sönümlenmiş Langevin dinamikasi yoki inertsiyasiz Langevin dinamikasi sifatida ham tanilgan.

Taʼrif



Broun dinamikasida koordinatali stoxastik tizim dinamikasini tasvirlash uchun quyidagi harakat tenglamasidan foydalaniladi.




X
=
X
(
t
)


{\displaystyle X=X(t)}

:







X
˙



=



D


k

B


T




U
(
X
)
+


2
D


R
(
t
)
.


{\displaystyle {\dot {X}}=-{\frac {D}{k_{B}T}}\nabla U(X)+{\sqrt {2D}}R(t).}


bu yerda:

Chiqarish



Langevin dinamikasida yuqoridagi kabi bir xil yozuvdan foydalangan holda harakat tenglamasi quyidagicha:




M



X
¨



=


U
(
X
)

ζ



X
˙



+


2
ζ

k

B


T


R
(
t
)


{\displaystyle M{\ddot {X}}=-\nabla U(X)-\zeta {\dot {X}}+{\sqrt {2\zeta k_{B}T}}R(t)}


bu yerda:

Yuqoridagi tenglamani quyidagicha qayta yozish mumkin:








M



X
¨








inertial force


+





U
(
X
)





potential force


+




ζ



X
˙








viscous force









2
ζ

k

B


T


R
(
t
)





random force


=
0


{\displaystyle \underbrace {M{\ddot {X}}} _{\text{inertial force}}+\underbrace {\nabla U(X)} _{\text{potential force}}+\underbrace {\zeta {\dot {X}}} _{\text{viscous force}}-\underbrace {{\sqrt {2\zeta k_{B}T}}R(t)} _{\text{random force}}=0}


Broun dinamikasida inertial kuch atamasi



M



X
¨



(
t
)


{\displaystyle M{\ddot {X}}(t)}

qolgan uchtasidan juda kichik boʻlib, u ahamiyatsiz deb hisoblanadi. Bu holda tenglama taxminan ga teng.




0
=


U
(
X
)

ζ



X
˙



+


2
ζ

k

B


T


R
(
t
)


{\displaystyle 0=-\nabla U(X)-\zeta {\dot {X}}+{\sqrt {2\zeta k_{B}T}}R(t)}


Radiusli sferik zarralar uchun



r


{\displaystyle r}

past Reynolds soni chegarasida biz Stokes-Eynshteyn munosabatidan foydalanishimiz mumkin. Ushbu holatda,



D
=

k

B


T

/

ζ


{\displaystyle D=k_{B}T/\zeta }

, va tenglama oʻqiydi:







X
˙



(
t
)
=



D


k

B


T




U
(
X
)
+


2
D


R
(
t
)
.


{\displaystyle {\dot {X}}(t)=-{\frac {D}{k_{B}T}}\nabla U(X)+{\sqrt {2D}}R(t).}


Masalan, ishqalanish tenzorining kattaligi



ζ


{\displaystyle \zeta }

kuchayadi, viskoz kuchning damping taʼsiri inersiya kuchiga nisbatan dominant boʻladi. Binobarin, tizim inertial rejimdan diffuziv (Braun) rejimga oʻtadi. Shu sababli, Broun dinamikasi haddan tashqari dampingli Langevin dinamikasi yoki inertsiyasiz Langevin dinamikasi sifatida ham tanilgan.

Algoritmlar



1978 yilda Ermak va Makkammon gidrodinamik oʻzaro taʼsirlar bilan Broun dinamikasini samarali hisoblash uchun algoritmni taklif qildilar. Gidrodinamik oʻzaro taʼsirlar zarralar bilvosita oʻzaro taʼsirlashganda, erituvchida mahalliy tezliklarni hosil qilish va ularga reaksiyaga kirishganda sodir boʻladi. tizimi uchun



N


{\displaystyle N}

F(X) kuch vektoriga tobe boʻlgan uch oʻlchamli zarrachalar diffuziyasi natijasida olingan Broun dinamikasi sxemasi quyidagicha boʻladi:




X
(
t
+
Δ
t
)
=
X
(
t
)
+



Δ
t
D



k

B


T



F
[
X
(
t
)
]
+
R
(
t
)


{\displaystyle X(t+\Delta t)=X(t)+{\frac {\Delta tD}{k_{B}T}}F[X(t)]+R(t)}


bu yerda



D


{\displaystyle D}

diagonal boʻlmagan yozuvlarda gidrodinamik oʻzaro taʼsirlarni koʻrsatadigan diffuziya matritsasi va



R
(
t
)


{\displaystyle R(t)}

 — oʻrtacha nolga teng va kovariatsiya matritsasi qanoatlantiruvchi Gauss shovqin vektori



<
R
(
t
)
R
(
t

)

T


>=
2
D
Δ
(
t
)


{\displaystyle <R(t)R(t)^{T}>=2D\Delta (t)}

.

Manbalar




uz.wikipedia.org


Uzpedia.uz