Bessel tengsizligi
Matematikada, ayniqsa funksional tahlil(analiz)da,
Bessel tengsizligi ortonormal ketma-ketlikka nisbatan Gilbert fazosida
x
{\displaystyle x}
elementning koeffitsientlari haqidagi jumladir. Tengsizlik 1828-yilda nemis olimi Friedrich Bessel (astronomiya, matematika, fizika va geodeziya fanlari olimi) tomonidan keltirib chiqarilgan.
H
{\displaystyle H}
Gilbert fazosi va
e
1
,
e
2
,
.
.
.
{\displaystyle e_{1},e_{2},...}
H
{\displaystyle H}
dagi ortonormal ketma-ketlik bo'lsin. U holda,
H
{\displaystyle H}
dagi har qanday vektor
x
{\displaystyle x}
uchun
∑
k
=
1
∞
|
⟨
x
,
e
k
⟩
|
2
≤
‖
x
‖
2
,
{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\left\vert \left\langle x,e_{k}\right\rangle \right\vert ^{2}\leq \left\Vert x\right\Vert ^{2},}
munosabat o'rinli bo'ladi, bu yerda ⟨·,·⟩ belgi
H
{\displaystyle H}
Gilbert fazosidagi skalyar ko'paytmani ifodalaydi. Agar
e
k
{\displaystyle e_{k}}
yo'nalishdagi
x
{\displaystyle x}
vektor proyeksiyaning "cheksiz yig'indi" sidan tuzilgan
x
′
=
∑
k
=
1
∞
⟨
x
,
e
k
⟩
e
k
,
{\displaystyle x'=\sum _{k=1}^{\infty }\left\langle x,e_{k}\right\rangle e_{k},}
cheksiz summani aniqlasak, u holda Bessel tengsizligi bu qatorning yaqinlashuvchi ekanligini ta'kidlaydi. Bu haqda quyidagicha ham o'ylash mumkin: potensial bazis
e
1
,
e
2
,
…
{\displaystyle e_{1},e_{2},\dots }
orqali ifodalanishi mumkin bo'lgan
x
′
∈
H
{\displaystyle x'\in H}
mavjud bo'ladi.
To'liq ortonormal ketma-ketlik uchun (ya'ni, bazis bo'lgan ortonormal ketma-ketlik uchun) biz Parseval ayniyatiga egamiz. Bunda tengsizlikni tenglik bilan almashtiriladi (va natijada
x
′
{\displaystyle x'}
ham
x
{\displaystyle x}
bilan almashtirilishi kerak bo'ladi).
Bessel tengsizligi quyidagi, har qanday natural son n uchun bajariladigan ayniyatdan kelib chiqadi
0
≤
‖
x
−
∑
k
=
1
n
⟨
x
,
e
k
⟩
e
k
‖
2
=
‖
x
‖
2
−
2
∑
k
=
1
n
Re
⟨
x
,
⟨
x
,
e
k
⟩
e
k
⟩
+
∑
k
=
1
n
|
⟨
x
,
e
k
⟩
|
2
=
‖
x
‖
2
−
2
∑
k
=
1
n
|
⟨
x
,
e
k
⟩
|
2
+
∑
k
=
1
n
|
⟨
x
,
e
k
⟩
|
2
=
‖
x
‖
2
−
∑
k
=
1
n
|
⟨
x
,
e
k
⟩
|
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}0\leq \left\|x-\sum _{k=1}^{n}\langle x,e_{k}\rangle e_{k}\right\|^{2}&=\|x\|^{2}-2\sum _{k=1}^{n}\operatorname {Re} \langle x,\langle x,e_{k}\rangle e_{k}\rangle +\sum _{k=1}^{n}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2}\\&=\|x\|^{2}-2\sum _{k=1}^{n}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2}+\sum _{k=1}^{n}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2}\\&=\|x\|^{2}-\sum _{k=1}^{n}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2}.\end{aligned}}}
Yana qarang
Manbalar
Havolalar
Bessel's Inequality the article on Bessel's Inequality on MathWorld.
Ushbu maqola Creative Commons Attribution/Share-Alike litsenziyasi ostida litsenziyalangan PlanetMath-dagi Bessel tengsizligidan olingan materiallarni o'z ichiga oladi.
uz.wikipedia.org