Bessel funktsiyalari

Matematikadagi Bessel funktsiyalari — bu Bessel differentsial tenglamasining kanonik yechimlari boʻlgan funktsiyalar oilasidir:

x

2

d

2

y

d

x

2

+
x

d
y

d
x

+
(

x

2

−

α

2

)
y
=
0
,

{\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}+(x^{2}-\alpha ^{2})y=0,}

qayerda

α

{\displaystyle \alpha }

ixtiyoriy haqiqiy son (umumiy holatda, kompleks son), tartib deb ataladi.

Eng koʻp ishlatiladigan Bessel funktsiyalari butun sonli tartiblarning funktsiyalaridir.

Garchi

α

{\displaystyle \alpha }

va

(
−
α
)

{\displaystyle (-\alpha )}

bir xil tenglamalarni yaratadi, ular odatda turli funktsiyalar ularga mos kelishiga rozi boʻlishadi (bu, masalan, Bessel funktsiyasida

α

{\displaystyle \alpha }

silliq boʻlishi uchun amalga oshiriladi.).

Bessel funktsiyalari birinchi marta shveytsariyalik matematik Daniel Bernoulli tomonidan aniqlangan va Fridrix Bessel sharafiga nomlagan.

Ilovalar

Bessel tenglamasi silindrsimon va sferik koordinatalarda Laplas tenglamasi va Gelmgolts tenglamalarining yechimlarini topishda yuzaga kelib qoladi. Shuning uchun Bessel funktsiyalari toʻlqinlarning tarqalishi, statik potentsiallar va boshqalarning koʻplab muammolarini hal qilishda qoʻllaniladi, masalan:

Bessel funktsiyalari boshqa muammolarni hal qilishda, masalan, signalarni qayta ishlashda ham qoʻllaniladi.

Bessel funksiyasi sinus funksiyasini umumlashtirilishidir. Bu oʻzgaruvchan qalinligi, oʻzgaruvchan kuchlanish (yoki ikkala shart bir vaqtning oʻzida) boʻlgan ipning tebranishi sifatida talqin qilinishi mumkin; oʻzgaruvchan xususiyatlarga ega boʻlgan muhitda tebranishlar; disk membranasining tebranishlari va boshqalarni oʻz ichiga oladi.

Taʼriflar

Yuqoridagi tenglama ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglama bo‘lgani uchun uning ikkita chiziqli mustaqil yechimi bo‘lishi kerak. Biroq, ushbu qarorlarning turli xil taʼriflari vaziyatga qarab tanlanadi. Quyida ulardan baʼzilari misol tariqasida keltirilgan.

Birinchi turdagi Bessel funktsiyalari

Belgilangan birinchi turdagi Bessel funktsiyalari

J

α

(
x
)

{\displaystyle J_{\alpha }(x)}

, yechimlar nuqtada cheklangan

x
=
0

{\displaystyle x=0}

butun yoki manfiy boʻlmagan

α

{\displaystyle \alpha }

uchun qoʻllaniladi . Muayyan funktsiyani tanlash va uni normallashtirish uning xususiyatlari bilan belgilanadi. Ushbu funktsiyalarni Teylor seriyasida nolga yaqin kengaytirish orqali aniqlash mumkin (yoki

α

{\displaystyle \alpha }

butun sonlar uchun umumiy quvvat seriyasida):

J

α

(
x
)
=

∑

m
=
0

∞

(
−
1

)

m

m
!

Γ
(
m
+
α
+
1
)

(

x
2

)

2
m
+
α

.

{\displaystyle J_{\alpha }(x)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{m!\,\Gamma (m+\alpha +1)}}{\left({\frac {x}{2}}\right)}^{2m+\alpha }.}

Bu yerda

Γ
(
z
)

{\displaystyle \Gamma (z)}

Bu Eyler gamma funktsiyasi boʻlib, faktorialni butun son boʻlmagan qiymatlarga umumlashtirishdir. Bessel funktsiyasining grafigi sinusoidga oʻxshaydi, uning tebranishlari proportsional ravishda parchalanadi.

1

x

{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {x}}}}

, garchi aslida funktsiyaning nollari vaqti-vaqti bilan joylashmasa ham (ammo, ketma-ket ikkita nol orasidagi masofa

π

{\displaystyle \pi }

da

x
→
∞

{\displaystyle x\to \infty }

) .

Quyida jadvallar keltirilgan

J

α

(
x
)

{\displaystyle J_{\alpha }(x)}

uchun

α
=
0
,
1
,
2

{\displaystyle \alpha =0,1,2}

:

Agar a

α

{\displaystyle \alpha }

butun son emas, funktsiyalar

J

α

(
x
)

{\displaystyle J_{\alpha }(x)}

va

J

−
α

(
x
)

{\displaystyle J_{-\alpha }(x)}

chiziqli mustaqil va shuning uchun tenglamaning yechimlari shu boʻladi. Lekin agar

α

{\displaystyle \alpha }

butun son boʻlsa, quyidagi munosabat toʻgʻri boʻladi:

J

−
α

(
x
)
=
(
−
1

)

α

J

α

(
x
)
.

{\displaystyle J_{-\alpha }(x)=(-1)^{\alpha }J_{\alpha }(x).}

Bu shuni anglatadiki, bu holda funktsiyalar chiziqli bogʻliqdir. Keyin tenglamaning ikkinchi yechimi ikkinchi turdagi Bessel funktsiyasi boʻladi (2-rasmga qarang). .

Bessel integrallari
Butun sonlar uchun Bessel funktsiyasining boshqa taʼrifini berish mumkin

α

{\displaystyle \alpha }

, integral yordamida koʻramiz:

J

α

(
x
)
=

1
π

∫

0

π

cos
⁡
(
α
τ
−
x
sin
⁡
τ
)

d
τ
.

{\displaystyle J_{\alpha }(x)={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{\pi }\!\cos(\alpha \tau -x\sin \tau )\,d\tau .}

Bu yondashuv Bessel tomonidan qoʻllanilgan va u funksiyalarning baʼzi xususiyatlarini oʻrganish uchun foydalangan. Boshqa integral vakillik ham boʻlishi mumkin:

J

α

(
x
)
=

1

2
π

∫

−
π

π

e

i
(
α
τ
−
x
sin
⁡
τ
)

d
τ
.

{\displaystyle J_{\alpha }(x)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }\!e^{i(\alpha \tau -x\sin \tau )}\,d\tau .}

Bessel funktsiyasining toʻliq boʻlmagan holda integral tasvirini topish

α

{\displaystyle \alpha }

abtsissa oʻqi boʻylab kesma mavjudligini hisobga olish kerak. Buning sababi, integral endi yoʻq

2
π

{\displaystyle 2\pi }

— davriy. Shunday qilib, integratsiya konturi 3 qismga boʻlinadi: nur

−
∞

{\displaystyle -\infty }

dan

1

{\displaystyle 1}

gacha, qayerda

φ
=
−
π

{\textstyle \varphi =-\pi }

, birlik radiusi doirasi va nur

1

{\displaystyle 1}

dan

+
∞

{\displaystyle +\infty }

gacha

φ
=
π

{\textstyle \varphi =\pi }

. Oddiy matematik oʻzgarishlarni amalga oshirib, siz quyidagi integral tasvirni olishingiz mumkin:

J

α

(
x
)
=

1

2
π

∫

−
π

π

e

i
(
x
s
i
n
(
φ
)
−
α
φ
)

d
φ
−

sin
⁡
(
α
π
)

π

∫

1

∞

e

−

1
2

x
(
r
−

1
r

)

r

α
+
1

d
r
.

{\displaystyle J_{\alpha }(x)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }\!e^{i(xsin(\varphi )-\alpha \varphi )}d\varphi -{\frac {\sin(\alpha \pi )}{\pi }}\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {e^{-{\frac {1}{2}}x(r-{\frac {1}{r}})}}{{}r^{\alpha +1}}}dr.}

Butun son uchun buni tekshirish oson

α

{\displaystyle \alpha }

bu ifoda oldingi formulaga qoʻyiladi.

Neyman funktsiyalari

Neyman funksiyalari — Yechimlar

Y

α

(
x
)

{\displaystyle Y_{\alpha }(x)}

Bessel tenglamalari bir nuqtada cheksiz boʻladi u nuqta

x
=
0

{\displaystyle x=0}

.

Bu xususiyat bilan

J

α

(
x
)

{\displaystyle J_{\alpha }(x)}

quyidagi nisbatga bogʻliq:

Y

α

(
x
)
=

J

α

(
x
)
cos
⁡
(
α
π
)
−

J

−
α

(
x
)

sin
⁡
(
α
π
)

,

{\displaystyle Y_{\alpha }(x)={\frac {J_{\alpha }(x)\cos(\alpha \pi )-J_{-\alpha }(x)}{\sin(\alpha \pi )}},}

bu erda butun son boʻlsa

α

{\displaystyle \alpha }

chegarasi olinadi

α

{\displaystyle \alpha }

, masalan, Lapital qoidasi yordamida hisoblangan.

Neyman funksiyalari ikkinchi turdagi Bessel funksiyalari deb ham ataladi. Birinchi va ikkinchi turdagi Bessel funktsiyalarining chiziqli birikmasi Bessel tenglamasining toʻliq yechimidir:

y
(
x
)
=

C

1

J

α

(
x
)
+

C

2

Y

α

(
x
)
.

{\displaystyle y(x)=C_{1}J_{\alpha }(x)+C_{2}Y_{\alpha }(x).}

Quyida grafik keltirilgan

Y

α

(
x
)

{\displaystyle Y_{\alpha }(x)}

uchun

α
=
0
,
1
,
2

{\displaystyle \alpha =0,1,2}

:

Bir qator kitoblarda Neyman funktsiyalari koʻrsatilgan

N

α

(
x
)

{\displaystyle N_{\alpha }(x)}

.

Sferik Bessel funktsiyalari

Sferik koordinatalarda Helmgolts tenglamasini oʻzgaruvchilarni ajratish usuli bilan yechishda radial qism uchun tenglama shaklga ega boʻladi.

x

2

d

2

y

d

x

2

+
2
x

d
y

d
x

+

(

x

2

−
n
(
n
+
1
)

)

y
=
0.

{\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+2x{\frac {dy}{dx}}+\left(x^{2}-n(n+1)\right)y=0.}

Ikkinchi chiziqli mustaqil yechim sferik Bessel funksiyalari deyiladi jn va yn va odatiy Bessel funktsiyalari bilan bogʻliq Jn va Neyman Yn yordamida ifodalanadi.

j

n

(
x
)

=

π

2
x

J

n
+

1
2

(
x
)
,

y

n

(
x
)

=

π

2
x

Y

n
+

1
2

(
x
)
=
(
−
1

)

n
+
1

π

2
x

J

−
n
−

1
2

(
x
)
.

{\displaystyle {\begin{aligned}j_{n}(x)&={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{n+{\frac {1}{2}}}(x),\\y_{n}(x)&={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}Y_{n+{\frac {1}{2}}}(x)=(-1)^{n+1}{\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{-n-{\frac {1}{2}}}(x).\end{aligned}}}

yn ham nnyoki ηn bilan belgilanadi; baʼzi mualliflar bu funktsiyalarni sferik Neyman funktsiyalari deb atashadi.

Sferik Bessel funksiyalarini ( Reyleigh formulasi ) shaklida ham yozish mumkin boʻladi.

j

n

(
x
)

=
(
−
x

)

n

(

1
x

d

d
x

)

n

sin
⁡
x

x

,

y

n

(
x
)

=
−
(
−
x

)

n

(

1
x

d

d
x

)

n

cos
⁡
x

x

.

{\displaystyle {\begin{aligned}j_{n}(x)&=(-x)^{n}\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)^{n}{\frac {\sin x}{x}},\\y_{n}(x)&=-(-x)^{n}\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)^{n}{\frac {\cos x}{x}}.\end{aligned}}}

Bir necha birinchi sharsimon Bessel funksiyalari dan misollar :

j

0

(
x
)

=

sin
⁡
x

x

,

j

1

(
x
)

=

sin
⁡
x

x

2

−

cos
⁡
x

x

,

j

2

(
x
)

=

(

3

x

2

−
1

)

sin
⁡
x

x

−

3
cos
⁡
x

x

2

,

j

3

(
x
)

=

(

15

x

3

−

6
x

)

sin
⁡
x

x

−

(

15

x

2

−
1

)

cos
⁡
x

x

{\displaystyle {\begin{aligned}j_{0}(x)&={\frac {\sin x}{x}},\\j_{1}(x)&={\frac {\sin x}{x^{2}}}-{\frac {\cos x}{x}},\\j_{2}(x)&=\left({\frac {3}{x^{2}}}-1\right){\frac {\sin x}{x}}-{\frac {3\cos x}{x^{2}}},\\j_{3}(x)&=\left({\frac {15}{x^{3}}}-{\frac {6}{x}}\right){\frac {\sin x}{x}}-\left({\frac {15}{x^{2}}}-1\right){\frac {\cos x}{x}}\end{aligned}}}

va Neyman :

y

0

(
x
)

=
−

j

−
1

(
x
)
=
−

cos
⁡
x

x

,

y

1

(
x
)

=

j

−
2

(
x
)
=
−

cos
⁡
x

x

2

−

sin
⁡
x

x

,

y

2

(
x
)

=
−

j

−
3

(
x
)
=

(

−

3

x

2

+
1

)

cos
⁡
x

x

−

3
sin
⁡
x

x

2

,

y

3

(
x
)

=

j

−
4

(
x
)
=

(

−

15

x

3

+

6
x

)

cos
⁡
x

x

−

(

15

x

2

−
1

)

sin
⁡
x

x

.

{\displaystyle {\begin{aligned}y_{0}(x)&=-j_{-1}(x)=-{\frac {\cos x}{x}},\\y_{1}(x)&=j_{-2}(x)=-{\frac {\cos x}{x^{2}}}-{\frac {\sin x}{x}},\\y_{2}(x)&=-j_{-3}(x)=\left(-{\frac {3}{x^{2}}}+1\right){\frac {\cos x}{x}}-{\frac {3\sin x}{x^{2}}},\\y_{3}(x)&=j_{-4}(x)=\left(-{\frac {15}{x^{3}}}+{\frac {6}{x}}\right){\frac {\cos x}{x}}-\left({\frac {15}{x^{2}}}-1\right){\frac {\sin x}{x}}.\end{aligned}}}

Funktsiyalarni keltirib chiqarish
Sferik Bessel funksiyalarini yaratish :

1
z

cos
⁡

(

z

2

−
2
z
t

)

=

∑

n
=
0

∞

t

n

n
!

j

n
−
1

(
z
)
,

1
z

sin
⁡

(

z

2

−
2
z
t

)

=

∑

n
=
0

∞

t

n

n
!

y

n
−
1

(
z
)
.

{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{z}}\cos \left({\sqrt {z^{2}-2zt}}\right)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}j_{n-1}(z),\\{\frac {1}{z}}\sin \left({\sqrt {z^{2}-2zt}}\right)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}y_{n-1}(z).\end{aligned}}}

Differentsial munosabatlar
Quyidagi formulalardafn bilan almashtirilishi mumkinjn ,yn h(1)n, h(1)n, h(2)n, h(2) sharsimon Hankel funktsiyalari, uchunn = 0, ±1, ±2, … :

(

1
z

d

d
z

)

m

(

z

n
+
1

f

n

(
z
)

)

=

z

n
−
m
+
1

f

n
−
m

(
z
)
,

(

1
z

d

d
z

)

m

(

z

−
n

f

n

(
z
)

)

=
(
−
1

)

m

z

−
n
−
m

f

n
+
m

(
z
)
.

{\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {1}{z}}{\frac {d}{dz}}\right)^{m}\left(z^{n+1}f_{n}(z)\right)&=z^{n-m+1}f_{n-m}(z),\\\left({\frac {1}{z}}{\frac {d}{dz}}\right)^{m}\left(z^{-n}f_{n}(z)\right)&=(-1)^{m}z^{-n-m}f_{n+m}(z).\end{aligned}}}

Xususiyatlari

Ortogonallik

Mayli

μ

1

,

μ

2

{\displaystyle \mu _{1},\mu _{2}}

Bessel funksiyasining nollari

J

α

(
x
)

{\displaystyle J_{\alpha }(x)}

. Keyin :

∫

0

1

x

J

α

(

μ

1

x
)

J

α

(

μ

2

x
)
d
x

=

{

0

;

μ

1

≠

μ

2

1
2

(

J

α

′

(

μ

1

)

)

2

;

μ

1

=

μ

2

{\displaystyle \int _{0}^{1}{xJ_{\alpha }(\mu _{1}x)J_{\alpha }(\mu _{2}x)dx}=\left\{{\begin{matrix}0&{\mbox{;}}\quad \mu _{1}\neq \mu _{2}\\\\{\frac {1}{2}}(J'_{\alpha }(\mu _{1}))^{2}&{\mbox{;}}\quad \mu _{1}=\mu _{2}\end{matrix}}\right.}

.

Asimptotiklar

Asimptotik formulalar birinchi va ikkinchi turdagi Bessel funktsiyalari uchun maʼlum. Kichik argumentlar uchun

(
0
<
x
≪

α
+
1

)

{\displaystyle (0<x\ll {\sqrt {\alpha +1}})}

va haqiqiy

α

{\displaystyle \alpha }

ular shunday koʻrinadi :

J

α

(
x
)
→

1

Γ
(
α
+
1
)

(

x
2

)

α

,

{\displaystyle J_{\alpha }(x)\rightarrow {\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha },}

Y

α

(
x
)
→

{

2
π

[

ln
⁡
(
x

/

2
)
+
γ

]

;

α
=
0

−

Γ
(
α
)

π

(

2
x

)

α

;

α
>
0

{\displaystyle Y_{\alpha }(x)\rightarrow \left\{{\begin{matrix}{\frac {2}{\pi }}\left[\ln(x/2)+\gamma \right]&{\mbox{;}}\quad \alpha =0\\\\-{\frac {\Gamma (\alpha )}{\pi }}\left({\frac {2}{x}}\right)^{\alpha }&{\mbox{;}}\quad \alpha >0\end{matrix}}\right.}

,
qayerda

γ

{\displaystyle \gamma }

— Eyler doimiysi — Mascheroni (0,5772 …) va

Γ

{\displaystyle \Gamma }

Eyler gamma funktsiyasidir . Katta argumentlar uchun (

x
≫

|

α

2

−
1

/

4

|

{\displaystyle x\gg |\alpha ^{2}-1/4|}

) formulalar quyidagichakoʻrinishda koʻrinadi:

J

α

(
x
)
→

2

π
x

cos
⁡

(

x
−

α
π

2

−

π
4

)

,

{\displaystyle J_{\alpha }(x)\rightarrow {\sqrt {\frac {2}{\pi x}}}\cos \left(x-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right),}

Y

α

(
x
)
→

2

π
x

sin
⁡

(

x
−

α
π

2

−

π
4

)

.

{\displaystyle Y_{\alpha }(x)\rightarrow {\sqrt {\frac {2}{\pi x}}}\sin \left(x-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right).}

Asimptotik kengayishning keyingi atamasidan foydalanish natijani sezilarli darajada yaxshilash imkonini beradi. Nolinchi tartibli Bessel funktsiyasi uchun u quyidagicha koʻrinishda koʻrinadi:

J

0

→

2

π
x

cos
⁡
(
x
−

π
4

)
+

1

4
x

2
π
x

sin
⁡
(
x
−

π
4

)
.

{\displaystyle J_{0}\rightarrow {\sqrt {\frac {2}{\pi x}}}\cos(x-{\frac {\pi }{4}})+{\frac {1}{4x{\sqrt {2\pi x}}}}\sin(x-{\frac {\pi }{4}}).}

Gipergeometrik qatorlar

Bessel funktsiyalari gipergeometrik funktsiya bilan ifodalanishi mumkin:

J

α

(
z
)
=

(
z

/

2

)

α

Γ
(
α
+
1
)

0

F

1

(
α
+
1
;
−

z

2

/

4
)
.

{\displaystyle J_{\alpha }(z)={\frac {(z/2)^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}{}_{0}F_{1}(\alpha +1;-z^{2}/4).}

Shunday qilib, butun son uchun

α

{\displaystyle \alpha }

Bessel funktsiyasi bitta qiymatli analitikdir va butun sonlar uchun u koʻp qiymatli analitik boʻladi.

Yaratish funktsiyasi

Birinchi turdagi Bessel funktsiyalari va maʼlum bir turdagi funktsiyaning Loran qatori koeffitsientlari boʻyicha butun tartibli tasvirlar mavjuddir.

e

z
2

(

w
−

1
w

)

=

∑

n
=
−
∞

+
∞

J

n

(
z
)

w

n

.

{\displaystyle e^{{\frac {z}{2}}\left(w-{\frac {1}{w}}\right)}=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }J_{n}(z)w^{n}.}

Nisbatlar

Yakobi-Angera formulasi va tegishli

Hosil qiluvchi funksiya ifodasidan olingan

a
=
1

{\displaystyle a=1}

,

w
=

e

i
ϕ

{\displaystyle w=e^{i\phi }}

:

e

i
z
sin
⁡
ϕ

=

J

0

(
z
)
+
2

∑

n
=
1

∞

J

2
n

(
z
)
cos
⁡
(
2
n
ϕ
)
+
2
i

∑

n
=
1

∞

J

2
n
−
1

(
z
)
sin
⁡
(
2
n
−
1
)
ϕ
.

{\displaystyle e^{iz\sin \phi }=J_{0}(z)+2\sum _{n=1}^{\infty }J_{2n}(z)\cos(2n\phi )+2i\sum _{n=1}^{\infty }J_{2n-1}(z)\sin(2n-1)\phi .}

a
=
1

{\displaystyle a=1}

,

t
=
i

e

i
ϕ

{\displaystyle t=ie^{i\phi }}

da :

e

i
z
cos
⁡
ϕ

=

J

0

(
z
)
+
2

∑

n
=
1

∞

i

n

J

n

(
z
)
cos
⁡
(
n
ϕ
)
.

{\displaystyle e^{iz\cos \phi }=J_{0}(z)+2\sum _{n=1}^{\infty }i^{n}J_{n}(z)\cos(n\phi ).}

Takroriy munosabatlar

Bessel funksiyalari uchun bir qancha takrorlanish munosabatlari mavjuddir. Mana ulardan baʼzilari quyidagilar:

J

α
+
1

=

α
x

J

α

−