Bernulli differensial tenglamasi
Oddiy shakldagi differensial tenglama :
y
′
+
a
(
x
)
y
=
b
(
x
)
y
n
,
n
≠
0
,
1
{\displaystyle y'+a(x)y=b(x)y^{n},\quad n\neq 0,\,1}
Bernulli tenglamasi deyiladi (misol uchun
n
=
0
{\displaystyle n=0}
yoki
n
=
1
{\displaystyle n=1}
bir jinsli yoki bir jinsli chiziqli tenglamani olamiz).
Da
n
=
2
{\displaystyle n=2}
Riccati tenglamasining maxsus holatidir. Ushbu bir jinsli tenglamani 1695-yilda nashr etgan Jeykob Bernulli sharafiga nomlangan.
Bu tenglamani chiziqli tenglamaga tushiruvchi almashtirish yordamida yechish usulini uning akasi Iogan Bernulli 1697-yilda yechimini topgan.
Yechish usuli
Birinchi usul
Tenglamaning barcha shartlarini quyidagigaga boʻling
y
n
,
{\displaystyle y^{n},}
olamiz
d
y
d
x
y
−
n
+
a
(
x
)
y
1
−
n
=
b
(
x
)
.
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}\!y^{-n}+a(x)y^{1-n}=b(x).}
Oʻzgartirishni amalga oshiramiz
z
=
y
1
−
n
{\displaystyle z=y^{1-n}}
va farqlash orqali biz quyidagilarni olamiz:
d
z
d
x
=
(
1
−
n
)
y
−
n
d
y
d
x
.
{\displaystyle {\frac {dz}{dx}}=(1-n)y^{-n}{\frac {dy}{dx}}.}
Bu tenglama chiziqli tenglamaga keltiramiz:
d
z
d
x
+
(
1
−
n
)
a
(
x
)
z
=
(
1
−
n
)
b
(
x
)
{\displaystyle {\frac {dz}{dx}}+(1-n)a(x)z=(1-n)b(x)}
va Lagranj usuli (doimiy oʻzgarish) yoki integrallashtiruvchi omil usullari bilan echilish ham mumkin.
Ikkinchi usul
Keling, almashtirish usuli orqali almashiramiz
y
=
u
v
,
{\displaystyle y=uv,}
keyin:
u
˙
v
+
u
(
v
˙
+
a
(
x
)
v
)
=
b
(
x
)
(
u
v
)
n
.
{\displaystyle {\dot {u}}v+u({\dot {v}}+a(x)v)=b(x)(uv)^{n}.}
v
(
x
)
≢
0
{\displaystyle v(x)\not \equiv 0}
shunday deb olamiz;
v
˙
+
a
(
x
)
v
=
0
,
{\displaystyle {\dot {v}}+a(x)v=0,}
buning uchun 1-tartibdagi ajratiladigan oʻzgaruvchilar bilan tenglamani yechish kifoya boʻladi. Shundan soʻng, aniqlash uchun
u
{\displaystyle u}
tenglamani olamiz
u
˙
u
n
=
b
(
x
)
v
n
−
1
{\displaystyle {\frac {\dot {u}}{u^{n}}}=b(x)v^{n-1}}
ajraladigan oʻzgaruvchilarga ega tenglamadir.
Misol uchun
Tenglama
y
′
−
2
y
x
=
−
x
2
y
2
{\displaystyle y'-{\frac {2y}{x}}=-x^{2}y^{2}}
y
2
,
{\displaystyle y^{2},}
boʻlib olamiz:
y
′
y
−
2
−
2
x
y
−
1
=
−
x
2
.
{\displaystyle y'y^{-2}-{\frac {2}{x}}y^{-1}=-x^{2}.}
Oʻzgaruvchilarning oʻzgarishi olamiz
w
=
1
y
{\displaystyle w={\frac {1}{y}}}
bizga berilgan:
w
′
=
−
y
′
y
2
,
{\displaystyle w'={\frac {-y'}{y^{2}}},}
w
′
+
2
x
w
=
x
2
.
{\displaystyle w'+{\frac {2}{x}}w=x^{2}.}
M
(
x
)
=
e
−
2
∫
1
x
d
x
=
x
−
2
.
{\displaystyle M(x)=e^{-2\int {\frac {1}{x}}dx}=x^{-2}.}
w
′
x
2
+
2
x
w
=
x
4
,
{\displaystyle w'x^{2}+2xw=x^{4},}
∫
(
w
x
2
)
′
d
x
=
∫
x
4
d
x
{\displaystyle \int (wx^{2})'dx=\int x^{4}dx}
w
x
2
=
1
5
x
5
+
C
{\displaystyle wx^{2}={\frac {1}{5}}x^{5}+C}
1
y
x
2
=
1
5
x
5
+
C
.
{\displaystyle {\frac {1}{y}}x^{2}={\frac {1}{5}}x^{5}+C.}
Natija:
y
=
x
2
1
5
x
5
+
C
.
{\displaystyle y={\frac {x^{2}}{{\frac {1}{5}}x^{5}+C}}.}
Qo'shimcha ma'lumot :
Bernuli tenglamasi faqat matematika yoki algebrada emas fizikada ham muhim orin tutadi.Bernuli tenglamasi yordamida fizikada bu tenglama sizga ixtiyoriy oʻlchamdagi nayda harakatlanayotgan suyuqlik harakatini tahlil qilish imkonini beradi.
Fizikadagi bernuli qonuni shunday:
Gorizontal oqayotgan suyuqlikning tezroq oqayotgan nuqtalarida bosim sekinroq oqayotgan nuqtalarga nisbatan kichik boʻladi. Adabiyotlar
Manbalar
uz.wikipedia.org